JTM VII, Etap II
Wyjaśnienia do zadań:
(Zadanie 8) Wszystkie krawędzie ostrosłupa są tej samej długości.
(Zadanie 3) P:O ile dobrze rozumiem treść zadania trzeciego - ustalamy zbiór C, nieskończony ciąg c_i elementów z C, a tylko k,l zależą od n?
Odp: chodzi o to, aby dla każdego n istniały k, l oraz (c_k, ..., c_l) że n jest równy odpowiedniej sumie. Elementy c_i zależą od n (nie są ustalone na początku).
(Zadanie 3) P:Czy wszystkie c_j muszą być parami różne?
Odp: nie muszą być parami różne.
(Zadanie 7) P: Czy zbiory A i B mogą być zbiorami pustymi?
Odp: Tak
(Zadanie 3) P:Czy wartości k i l mogą być ujemne (a więc też czy cj może istnieć dla ujemnego j)?
Odp: mogą być ujemne.
(Zadanie 3) P:Czy możemy dobrać l=k-1 dla n=0, gdy w C nie ma 0?
Odp: Tak.
Zadanie 1
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(\cal{O}_1\) i \(\cal{O}_2\) będą okręgami stycznymi wewnętrznie w punkcie \(A\) o promieniach odpowiednio \(64\) i \(113\). Niech \(AB\) będzie średnicą \(\cal{O}_2\). Niech \(P_1, P_2\) będą takimi punktami na okręgu \(\cal{O}_2\), że prosta \(P_1P_2\) jest styczną do okręgu \(\cal{O}_1\) w punkcie przecięcia \(AB\) z \(\cal{O}_1\) różnym od \(A\). Niech \(Q_1, Q_2\) będą takimi punktami na okręgu \(\cal{O}_2\), że prosta \(Q_1Q_2\) jest styczną do okręgu \(\cal{O}_1\) prostopadłą do stycznej \(P_1P_2\) i leżącą po tej samej stronie \(AB\), co \(P_1\), przy czym \(Q_1\) jest po tej samej stronie \(P_1P_2\), co \(A\). Obliczyć odległość punktu styczności \(Q_1Q_2\) z okręgiem \(\cal{O}_1\) od punktu \(P_1\).
Zadanie 2
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Obliczyć najmniejszą wartość wyrażenia\[y^2+\frac{y^3}{x}+\frac{x(x-y)^2}{y^2}+\frac{x^2}{y}\]dla takich dodatnich liczb rzeczywistych \(x,y\), że \(x^3+y^3=36\).
Zadanie 3
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(C\) będzie skończonym podzbiorem zbioru nieujemnych liczb całkowitych. Załóżmy, że każdą nieujemną liczbę całkowitą \(n\) możemy przedstawić w postaci\[n=\sum_{j=k}^l c_j\cdot \left(\frac{997}{1013}\right)^j\]dla pewnych \(k,l\in\mathbb{Z}\) oraz \(c_j\in C\). Jaka jest najmniejsza możliwa wartość mocy zbioru \(C\)? Jeśli nie istnieje skończony podzbiór \(C\) o powyższych własnościach, wpisać wartość ,,\(1000\)''.
Zadanie 4
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Zdefiniujmy działanie \(\oplus\) na zbiorze dodatnich liczb wymiernych wzorem \(\frac{a}{b}\oplus\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\), gdzie liczby wymierne \(\frac{a}{b},\frac{c}{d}\) są zapisane w postaci ułamków nieskracalnych o dodatnim liczniku i mianowniku. Dany jest rosnący ciąg \((a_1,a_2,\ldots ,a_{131})\) dodatnich liczb wymiernych. Dla \(i\in \{1, 2, \ldots, 130\}\) definujemy \(b_i=a_i\oplus a_{i+1}\). Ponadto \(b_{131}=a_{131}\oplus a_1\). Niech \(M\) będzie medianą zbioru \(\{b_1, b_2, \ldots, b_{131} \}\). Podać sumę licznika i mianownika ułamka nieskracalnego liczby \(M\) o dodatnim mianowniku, jeśli \(a_i=\frac{i}{i+65}\) dla \(i\in \{1, 2, \ldots, 130, 131\}\).
Zadanie 5
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
\((a,b)\)-siatką nazwiemy nieskończoną siatkę sześciokątną, w której każda sześciokątna komórka wypełniona jest jakąś liczbą całkowitą. Liczby te zdeterminowane są przez następujący proces:
- W jednej z komórek w pewnym rzędzie (który nazwiemy pierwszym) znajduje się liczba 1, a w pozostałych komórkach tego rzędu oraz we wszystkich komórkach powyżej tego rzędu znajdują się zera.
- W każdym kolejnym rzędzie (drugim, trzecim itd.) poniżej rzędu pierwszego wartość liczby w komórce jest równa sumie wartości liczb z dwóch komórek bezpośrednio nad nią, przemnożonych odpowiednio przez \(a\) (komórka u góry po lewej) i przez \(b\) (komórka u góry po prawej).
Poniższy schemat przedstawia działanie kroku 2
Wyznaczyć sumę liczb z rzędów od pierwszego do \(12\)-tego (\(3,4\))-siatki.
Zadanie 6
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Dla dodatniej liczby całkowitej \(n\) definiujemy\[s(n)=\sum_{k=1}^{n}\lfloor {\sqrt{k}} \rfloor.\]Wyznaczyć moc zbioru tych liczb całkowitych \(n\in\{1,...,67599\}\), dla których wartość \(s(n)\) jest parzysta. Uwaga: przez \(\lfloor x \rfloor \) oznaczamy największą liczbę całkowitą nieprzekraczającą \(x\).
Zadanie 7
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Parę nieuporządkowaną zbiorów \(\{A,B\}\) (to znaczy, że \(\{A,B\}=\{B,A\}\)) nazwiemy \(k\)-kompatybilną, gdy zbiór \((A\setminus B)\cup (B\setminus A)\) zawiera dokładnie \(k\) elementów. Wyznaczyć liczbę \(7\)-kompatybilnych par zbiorów \(\{A,B\}\) zawartych w zbiorze \(\{1,2,...,14\}\).
Zadanie 8
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Podać \(\lfloor 1000r \rfloor\), gdzie \(r\) jest długością promienia kuli wpisanej w ostrosłup prawidłowy czworokątny o wszystkich krawędziach długości \(2337\). Uwaga: przez \(\lfloor x \rfloor \) oznaczamy największą liczbę całkowitą nieprzekraczającą \(x\).
Zadanie 9
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(a_1=65\) i dla każdej liczby całkowitej \(n\geq 1\) zdefiniujmy rekurencyjnie \(a_{n+1}\) jako wartość bezwzględną z różnicy liczby \(a_n\) i liczby otrzymanej przez zamianę cyfry jedności i cyfry dziesiątek liczby \(a_n\) miejscami (jeśli \(a_n<10\), to uznajemy, że \(a_n\) ma cyfrę dziesiątek równą \(0\); np. dla \(a_n=4\) mamy \(a_{n+1}=|4-40|=36\)). Wyznaczyć \(a_{12337}\).
Zadanie 10
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Wielomian \(W(x)\) posiada rzeczywiste miejsca zerowe. Poza tym \(W(W(x))\) jest wielomianem czwartego stopnia o współczynniku wiodącym \(274625\) i jest funkcją parzystą. Wiedząc, że \(W(W(0))=66\), wyznaczyć licznik wartości \(W(0)\) wyrażonej w postaci ułamka nieskracalnego o dodatnim mianowniku.
