JTM VII, Etap I
Zadanie 1
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Powiemy, że niepusty podzbiór \(A\) zbioru liczb całkowitych dodatnich jest dziwny wtedy i tylko wtedy, gdy jednym z elementów \(A\) jest suma wszystkich elementów \(A\) pomniejszona o liczbę elementów zbioru \(A\), to znaczy\[\left(\sum_{a\in A}a-|A|\right)\in A.\]Na przykład zbiór \(B=\{1,2,3\}\) jest dziwny, ponieważ suma elementów \(B\) to \(6\), moc zbioru \(B\) to 3 oraz \(6-3 = 3 \in B\). Wyznaczyć liczbę dziwnych podzbiorów zbioru \(\{1,2,...,54\}\).
Zadanie 2
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Dodatnią liczbę całkowitą \(n\) nazwiemy mocno parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona parzysta i jej rozwinięcie w systemie dwójkowym posiada parzystą liczbę jedynek. Na przykład liczba \(12\) jest mocno parzysta, bo jest podzielna przez 2 oraz\[12_{10} = 1100_2,\]a \(1100_2\) posiada parzystą liczbę jedynek. Wyznaczyć sumę liczb mocno parzystych mniejszych niż \(2^{11}\).
Zadanie 3
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Oznaczmy przez \(\lfloor x\rfloor\) część całkowitą liczby rzeczywistej \(x\), czyli największą liczbę całkowitą mniejszą lub równą \(x\), natomiast przez \(\{x\}\) oznaczmy część ułamkową liczby \(x\), czyli \(x-\lfloor x\rfloor\). Dla ilu różnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) istnieje trójkąt prostokątny o bokach długości \(x\), \(\lfloor x\rfloor\), \(11\{x\}\)?
Zadanie 4
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Dany jest \((23)\)-kąt foremny \(A_1A_2\ldots A_{23}\). Niech \(X\) będzie środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie, a \(Y\) środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(A_1XA_3\). Podać wartość \(\lfloor 100\alpha\rfloor\), gdzie \(\alpha\in (0,180)\) jest miarą kąta \(A_1YX\) wyrażoną w stopniach.
Zadanie 5
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech\[m=\underset{7\text{ razy}}{\underbrace{9\ldots 9}}8\underset{7\text{ razy}}{\underbrace{0\ldots 0}}1.\]Podać sumę 13599999864 początkowych cyfr po przecinku rozwinięcia dziesiętnego liczby \(\frac{1}{m}\).
Zadanie 6
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Definiujemy \(n\)-ty geo-graf (dla \(n \geq 3\)) jako graf, którego wierzchołki i krawędzie pokrywają się z wierzchołkami i krawędziami sumy mnogościowej \(k\)-kątów foremnych dla \(k\in\{3,4,\ldots ,n\}\), które mają jeden wspólny bok (w rozważanej sumie występuje dokładnie jeden \(k\)-kąt dla każdego \(k\in\{3,4,\ldots ,n\}\)). Drzewem rozpinającym danego grafu nazwiemy dowolny podzbiór jego krawędzi, który nie zawiera pętli i po którym można przejść z każdego wierzchołka do każdego innego. Ile różnych drzew rozpinających ma \(11\)-ty geo-graf (drzewa różniące się chociaż jedną krawędzią uznajemy za różne).
Zadanie 7
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Podać najmniejszą wartość wyrażenia\[\sqrt{9+x^2}+\sqrt{1307473281+y^2},\]gdzie \(x,y>0\) i \(x+y=6480\).
Zadanie 8
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Podać największą możliwą objętość ostrosłupa o podstawie prostokąta, którego suma wysokości i obwodu podstawy jest równa \(198\).
Zadanie 9
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Zapiszmy \[2000!=\sum_{j=0}^{l}d_j\cdot 10^j,\]gdzie \(d_j\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) i \(d_l\neq 0\). Niech \(k\) będzie najmniejszą taką liczbą naturalną, że \(d_k\neq 0\). Podać \(10d_{k+1}+d_k\).
Zadanie 10
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Funkcja \(f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) (\(\mathbb{Q}\) oznacza zbiór liczb wymiernych) spełnia równość\[f(x+y)=f(x+14)+f(y)+101\]dla dowolnych liczb wymiernych \(x,y\). Poza tym \(f(1)=107\). Wyznaczyć \(f\left(\frac{5}{8}\right)\).
