JTM VI, Etap I
Uwagi do zadań
Zadanie n-te jest warte \(0.5 + 2^{-15+n}\) punktów, tj. zadania mają wartość od 0.5 do około 0.53125 punktu.
Zadanie 1
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Punkt \(X\) leży na boku \(BC\) trójkąta \(ABC\), a punkt \(Y\) leży na boku \(AC\) tego trójkąta. Punkt \(Z\) jest punktem przecięcia odcinków \(AX\) oraz \(BY\). Obliczyć pole trójkąta \(ABC\) wiedząc, że pola trójkątów\({AYZ}\), \({BXZ}\), \({ABZ}\) wynoszą odpowiednio \(16\), \(12\), \(16\).
Zadanie 2
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Ciąg liczb całkowitych dodatnich \((x_1, x_2, \ldots, x_n)\), gdzie \(n\geq 1\), nazywamy \(28941\)-szczęśliwym, jeśli \(x_{i + 1} - x_i = 1\) dla każdego \(i \in \{1, \ldots n - 1\}\) oraz \(x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 28941\). Znaleźć sumę pierwszych wyrazów wszystkich ciągów \(28941\)-szczęśliwych.
Zadanie 3
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(S\) będzie zbiorem \(100\) punktów płaszczyzny danym jako\[S = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : \ x, y \in \{0, \ldots 9\} \}.\]Każdy punkt w zbiorze \(S\) malujemy na biało lub czarno. Wyznaczyć liczbę kolorowań zbioru \(S\), w którym każdy kwadrat o boku \(1\) i wszystkich wierzchołkach należących do zbioru \(S\), posiada dokładnie dwa wierzchołki czarne (dwa kolorowania uznajemy za różne, jeżeli różnią się w przynajmniej jednym punkcie zbioru \(S\)).
Zadanie 4
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
W ramach zabawy Jaś rzuca \(10\) razy symetryczną monetą. Za każdą wyrzuconą reszkę dostaje od rodziców jednego cukierka, zaś za każdego wyrzuconego orła dostaje dwa cukierki. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo następującego zdarzenia: po jednym z wykonanych rzutów, Jaś posiada dokładnie \(10\) cukierków otrzymanych od rodziców w ramach tej zabawy. Obliczyć sumę licznika i mianownika liczby \(p\), zapisanej w postaci nieskracalnej o dodatnim mianowniku. Zakładamy, że Jaś nie zjada żadnych cukierków w trakcie zabawy.
Zadanie 5
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Dany jest trójkąt \(ABC\) o długościach boków \(10, 12, 14\). Dwusieczna kąta wewnętrznego przy wierzchołku \(A\) przecina bok \(BC\) w punkcie \(A_1\) oraz okrąg opisany na trójkącie \(ABC\) w punkcie \(A_2\) innym niż \(A\). Analogicznie definiujemy punkty \(B_1, B_2, C_1, C_2\). Wyznaczyć wartość iloczynu\[|AA_1| \cdot |AA_2| \cdot |BB_1| \cdot |BB_2| \cdot |CC_1| \cdot |CC_2|.\]
Zadanie 6
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(d(n)\) oznacza liczbę dodatnich dzielników liczby całkowitej \(n \geq 1\) (wliczając \(1\) oraz \(n\)). Niech\[f(n) = d(1) + d(2) + \ldots + d(n).\]Wyznaczyć liczbę takich całkowitych \(n\in\{1, \ldots 2543\}\), dla których liczba \(f(n)\) jest parzysta.
Zadanie 7
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Dla każdego niepustego zbioru \(S \subseteq \{1,\ldots,8\}\), przez \(T_{S}\) oznaczamy iloczyn wszystkich elementów \(S\). Znaleźć sumę \[\sum_{S \subseteq \{1,\ldots,8\}, S\neq\varnothing} T_S.\]
Zadanie 8
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Trójkąt \(ABC\) ma boki długości \(10\), \(13\), \(20\). Niech \(H\) oznacza ortocentrum trójkąta \(ABC\), a punkty \(D\), \(E\) i \(F\) będą odbiciami punktu \(H\) względem prostych \(BC\), \(AC\), \(AB\). Niech \(R\) będzie promieniem okręgu opisanego na trójkącie \(DEF\). Podać część całkowitą liczby \(10000R\).
Zadanie 9
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Funkcja \(f:\mathbb{R}\setminus\{11\}\to\mathbb{R}\setminus\{11\}\) spełnia równanie\[20f(x)+21f\left(\frac{11x-120}{x-11}\right)=x.\]Podać sumę licznika i mianownika ułamka nieskracalnego liczby \(f(13)\) o dodatnim mianowniku.
Zadanie 10
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Obliczyć część całkowitą liczby \(10^{10}S\), gdzie \(S\) jest największą wartością wyrażenia \(\sin^{10} x\cos^{13} x\) dla \(x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\).
