JTM VII, Etap IIIB

(\(1+2^{-10}\) punktu) Na zbiorze \(\{1,2,3,4\}\) zadano pewną topologię, w której zbiorami otwartymi są między innymi \(\{1,2\}\) oraz \(\{2,3\}\). Podać najmniejszą możliwą liczbę zbiorów, z których składać się może ta topologia.

(\(1+2^{-9}\) punktu) Odpowiedzieć na poniższe dwa pytania, a następnie zsumować liczby przy udzielonych odpowiedziach. Sumę tę podać jako odpowiedź do zadania 2.
a) Rozważmy następującą rodzinę podzbiorów \(\mathbb R\): całe \(\mathbb R\) oraz wszystkie te zbiory, do których nie należy żadna liczba całkowita. Czy ta rodzina jest topologią na \(\mathbb R\)? [TAK 1 NIE 0]
b) Rozważmy następującą rodzinę podzbiorów \(\mathbb R\): zbiór pusty oraz wszystkie te zbiory, które nie są ograniczone od góry (tzn. nie są zawarte w żadnym przedziale postaci \((-\infty,x]\)). Czy ta rodzina jest topologią na \(\mathbb R\)? [TAK 2 NIE 0]

(\(1+2^{-8}\) punktu) Odpowiedzieć na poniższe dwa pytania, a następnie zsumować liczby przy udzielonych odpowiedziach. Sumę tę podać jako odpowiedź do zadania 3.
a) Czy zbiór \(\{0\}\) jest domknięty w topologii prawych odcinków na \(\mathbb R\)? [TAK 1 NIE 0]
b) Czy zbiór liczb wymiernych jest domknięty w topologii euklidesowej na \(\mathbb{R}\)? [TAK 2 NIE 0]

(\(1+2^{-7}\) punktu) Odpowiedzieć na poniższe dwa pytania, a następnie zsumować liczby przy udzielonych odpowiedziach. Sumę tę podać jako odpowiedź do zadania 4.a) Czy zbiór liczb całkowitych jest gęsty w \(\mathbb R\) z topologią prawych odcinków?
b) Rozważmy topologię na \(\mathbb R\) składającą się ze zbioru pustego oraz tych wszystkich zbiorów, które zawierają odcinek \([0,1]\). Czy w tej topologii \(\{1\}\) jest zbiorem gęstym?

(\(1+2^{-6}\) punktu) Odpowiedzieć na poniższe dwa pytania, a następnie zsumować liczby przy udzielonych odpowiedziach. Sumę tę podać jako odpowiedź do zadania 5.
a) Rozważmy następującą rodzinę podzbiorów \(\mathbb R\): zbiór pusty oraz wszystkie te zbiory, których dopełnienie zawarte jest w odcinku \([0,1]\) lub których dopełnienie zawarte jest w zbiorze liczb naturalnych. Czy ta rodzina jest topologią na \(\mathbb R\)?
b) Rozważmy wszystkie możliwe zbiory prostych na płaszczyźnie o tej własności, że przecięcie wszystkich prostych w obrębie każdego takiego zbioru jest niepuste. Dodajmy do tej rodziny zbiór pusty oraz zbiór wszystkich prostych na płaszczyźnie. Czy utworzyliśmy w ten sposób topologię na zbiorze wszystkich prostych na płaszczyźnie?

(\(1+2^{-5}\) punktu) Odpowiedzieć na poniższe dwa pytania, a następnie zsumować liczby przy udzielonych odpowiedziach. Sumę tę podać jako odpowiedź do zadania 6.
a) Czy każde dwa zbiory otwarte w topologii dopełnień skończonych na \(\mathbb R\) mają niepuste przecięcie?
b) Czy w topologii prawej strzałki na \(\mathbb R\) jedynymi zbiorami otwarto-domkniętymi są zbiór pusty oraz całe \(\mathbb R\)?

(\(1+2^{-4}\) punktu) Odpowiedzieć na poniższe dwa pytania, a następnie zsumować liczby przy udzielonych odpowiedziach. Sumę tę podać jako odpowiedź do zadania 7.
a) Czy jest możliwe, aby dwa zbiory gęste w pewnej przestrzeni topologicznej były rozłączne?
b) Czy w każdej niepustej przestrzeni topologicznej istnieje co najmniej jeden zbiór gęsty?

(\(1+2^{-3}\) punktu) Rozważmy zbiór pusty oraz wszystkie podzbiory \(\mathbb N\) postaci \(\{a\cdot n, n\in \mathbb{N}\}\), gdzie \(a\) jest pewnym parametrem naturalnym dodatnim. Odpowiedzieć na poniższe dwa pytania, a następnie zsumować liczby przy udzielonych odpowiedziach. Sumę tę podać jako odpowiedź do zadania 8.
a) Czy rodzina zdefiniowana powyżej jest bazą pewnej topologii na \(\mathbb N\)?
b) Czy rodzina zdefiniowana powyżej jest topologią na \(\mathbb N\)?

(\(1+2^{-2}\) punktu) Odpowiedzieć na poniższe dwa pytania, a następnie zsumować liczby przy udzielonych odpowiedziach. Sumę tę podać jako odpowiedź do zadania 9.
a) Czy w topologii na \(\mathbb N\), w której wszystkie zbiory z rodziny zdefiniowanej w zadaniu 8 są otwarte, musi istnieć skończony niepusty zbiór otwarty?
b) Czy w topologii na \(\mathbb N\), w której wszystkie zbiory z rodziny zdefiniowanej w zadaniu 8 są otwarte, każdy skończony zbiór nie zawierający \(0\) jest domknięty?

(\(1+2^{-1}\) punktu) Wśród poniższych czterech baz znaleźć dwie, które zadają tę samą topologię. Zsumować numery poprzedzające je i podać tę sumę jako odpowiedź do zadania 10.
1 Wszystkie odcinki postaci \((x,\infty)\), gdzie \(x\) może być dowolną liczbą wymierną.
2 Wszystkie odcinki postaci \((x,\infty)\), gdzie \(x\) może być dowolną liczbą rzeczywistą.
4 Wszystkie odcinki postaci \([x,\infty)\), gdzie \(x\) może być dowolną liczbą wymierną.
8 Wszystkie odcinki postaci \([x,\infty)\), gdzie \(x\) może być dowolną liczbą rzeczywistą.