JTM VII, Etap IIIA

{ (\(1+2^{-10}\) punktu) Niech \(O_1, O_2\) będą okręgami stycznymi zewnętrznie, każdy o promieniu \(7\). Niech \(k\) będzie prostą styczną do okręgów \(O_1\) i \(O_2\) nieprzechodzącą przez wspólny punkt tych okręgów. Obliczyć \(100P\), gdzie \(P\) to pole kwadratu zawartego w obszarze ograniczonym przez okręgi \(O_1, O_2\) oraz prostą \(k\), którego dwa wierzchołki leżą na prostej \(k\), trzeci wierzchołek na okręgu \(O_1\), a czwarty na okręgu \(O_2\).}

{ (\(1+2^{-9}\) punktu) Zestawem do gry w domino wielkości \(k\) nazwiemy zbiór kamieni, z których każdy podzielony jest na dwa pola i na każdym z pól znajduje się dokładnie jedna liczba całkowita ze zbioru \(\{0,1,2,\ldots ,k\}\). W jednym zestawie znajdują się kamienie zawierające na polach wszystkie możliwe kombinacje z powtórzeniami liczb zbioru \(\{0,1,2,\ldots ,k\}\), przy czym każda kombinacja pojawia się tylko na jednym kamieniu. Na przykład kamienie \([1|2]\) oraz \([2|1]\) uznajemy za te same. Ile wynosi suma liczb znajdujących się na wszystkich kostkach jednego zestawu wielkości \(23\)?}

{ (\(1+2^{-8}\) punktu) Liczbę \(10^{2n-1}\cdot a_{2n}+10^{2n-2}\cdot a_{2n-1}+\ldots +10a_2+a_1\), gdzie \(a_1,\ldots ,a_{2n}\in\{0,1,2,\ldots , 9\}\) i \(a_{2n}\neq 0\), nazwiemy jagiellońską, jeśli \[10^{n-1}\cdot a_{2n}+10^{n-2}\cdot a_{2n-1}+\ldots +10a_{n+2}+a_{n+1}=a_n\cdot a_{n-1} \cdot \ldots a_2 \cdot a_1.\] Ile jest sześciocyfrowych liczb jagiellońskich podzielnych przez \(3\)?}

{(\(1+2^{-7}\) punktu) W czworościanie \(ABCD\) krawędzie mają długości: \(|AB|=63\), \(|AC|=12\), \(|BC|=\sqrt{4113}\), \(|AD|=16\), \(|BD|=65\), \(|CD|=20\). Podać objętość czworościanu ABCD.}

{ (\(1+2^{-6}\) punktu) Dwóch graczy gra w grę, w której wykonują ruchy na przemian. Na stole znajduje się jeden stos kamieni. W każdym ruchu gracz zabiera ze stosu kamienie w liczbie nie większej niż połowa liczby wszystkich kamieni w stosie. W każdym ruchu musi zostać zabrany co najmniej jeden kamień. Wygrywa gracz, który wykona ruch, po którym w stosie zostanie jeden kamień. Wyznaczyć liczbę tych wartości \(n\in\{2,3,4,\ldots ,2024\}\), dla których pierwszy gracz ma strategię wygrywającą, jeśli na początku rozgrywki stos liczy \(n\) kamieni.}

{\rm (\(1+2^{-5}\) punktu) Wyznaczyć wartość bezwzględną najmniejszej wartości funkcji zadanej wzorem \(f(x,y,z)=12x-4y-3z\) na zbiorze \(\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\ x^2+y^2+z^2=1\}\).}

{ (\(1+2^{-4}\) punktu) Wysokościami trójkąta \(ABC\) są odcinki \(AD\), \(BE\) i \(CF\). Punkt \(H\) jest ortocentrum (punktem przecięcia prostych zawierających wysokości) tego trójkąta. Obliczyć pole trójkąta \(ABC\), jeśli \(|AH|=40\), \(|BH|=25\), \(|FH|=24\).}

{ (\(1+2^{-3}\) punktu) Prostokątna podłoga pewnej sali pokryta jest płytkami, z których każda jest wielokątem wypukłym, i w żadnym miejscu nie spotykają się więcej niż 3 płytki. Pewnej zimy jedna z płytek, która stykała się z 23 innymi i nie stykała się z brzegiem podłogi, pękła na 247 płytek, z których każda również jest wielokątem wypukłym. Okazało się, że nadal w żadnym miejscu nie spotykają się więcej niż trzy płytki. Ile jest teraz miejsc, w których jedna z 247 nowych płytek styka się z dwoma innymi (starymi lub nowymi)?}

{ (\(1+2^{-2}\) punktu) Niech \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) będzie taką funkcją, że \(f(x^3+3x-2)=x^6+3x^4+6x+10\) dla każego \(x\in\mathbb{R}\). Obliczyć \(f(0)\).}

{ (\(1+2^{-1}\) punktu) Obliczyć resztę z dzielenia liczby \[\left\lfloor\frac{10^{300}}{10^{20}+7}\right\rfloor\] przez \(10000\), gdzie \(\lfloor x\rfloor\) jest największą liczbą całkowitą mniejszą lub równą liczbie rzeczywistej \(x\).}