JTM VI, Etap IIIA
Zadanie 1
(\(1+2^{-10}\) punktu) W pewnej grze drużyna złożona z gracza niebieskiego i gracza zielonego rywalizuje z drużyną złożoną z gracza żółtego i gracza czerwonego. Władysław, Jan, Aleksander i Zygmunt chcą rozegrać kilka partii w tę grę, tak aby każdy z nich co najmniej raz zagrał każdym kolorem oraz każdy z nich był co najmniej raz w drużynie z każdym z pozostałych.Ile co najmniej partii muszą rozegrać?
Zadanie 2
(\(1+2^{-9}\) punktu) Michał rzuca \(5\) razy symetryczną monetą, natomiast Tomasz \(6\) razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Michał otrzyma więcej razy orła jako wynik rzutu niż Tomasz? \textbf{Wynik podać w postaci ułamka nieskracalnego o dodatnim mianowniku.}
Zadanie 3
(\(1+2^{-8}\) punktu) Niech \(m\) i \(M\) oznaczają odpowiednio najmniejszą i największą wartość funkcji zadanej wzorem \[f(x,y)=6x-3y+2\] na zbiorze\[A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\quad x^2-2x-5\leq y\leq 4x+2\}.\]Obliczyć \(M-m\).
Zadanie 4
(\(1+2^{-7}\) punktu) Punkty \(A, B, C\) leżą na okręgu o środku \(O\). Kąt \(AOC\) jest kątem prostym, wewnątrz którego leży punkt \(B\). Punkt \(D\) leżący na promieniu \(CO\) tego okręgu jest taki, że kąt \(ABD\) jest kątem prostym. Wiedząc, że \(|AB|=24\) i \(|BD|=7\), obliczyć promień tego okręgu.
Zadanie 5
(\(1+2^{-6}\) punktu) Podać najmniejsze rozwiązanie równania \[x(x-2)(x-4)(x-6)=3465.\]
Zadanie 6
(\(1+2^{-5}\) punktu) Znaleźć największe takie \(r\), że w czworościanie foremnym o boku długości \(1\) zmieścimy \(4\) kule o promieniu \(r\), których wnętrza są parami rozłączne.
Zadanie 7
(\(1+2^{-4}\) punktu) Niech \(x, y, z > 0\). Określić najmniejszą wartość wyrażenia\[9\cdot\frac{y}{z}-6\cdot\frac{x}{z}+4\cdot\frac{x^2}{yz}-8\cdot\frac{x}{y}+16\cdot\frac{z}{y}.\]
Zadanie 8
(\(1+2^{-3}\) punktu) Podać najmniejszą dodatnią liczbę całkowitą \(n\) o tej własności, że po przełożeniu jej końcowej cyfry w zapisie dziesiętnym na początek tego zapisu otrzymamy liczbę \(2n\).
Zadanie 9
(\(1+2^{-2}\) punktu) Punkty \(A_1, A_2, \ldots , A_{14}\) są wierzchołkami czternastokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu \(3\). Wyznaczyć wartość wyrażenia\[|A_1A_3|^2 + |A_1A_7|^2 + |A_3A_7|^2.\]
Zadanie 10
(\(1+2^{-1}\) punktu) Podać liczbę zer, którymi kończy się zapis dziesiętny liczby \[\sum_{k=0}^{304}(k^2+k+1)k!.\]