JTM VI, Etap II
Uwagi do zadań
Każde zadanie warte jest taką samą liczbę punktów.
Zadanie 1
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Jaka jest najmniejsza dodatnia liczba całkowita, której iloczyn cyfr wynosi \(80\)?
Zadanie 2
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Będziemy nazywali niepusty zbiór dodatnich liczb całkowitych ciekawym, jeżeli liczba elementów tego zbioru jest mniejsza lub równa najmniejszemu elementowi. Na przykład zbiory \(\{4, 5, 7\}, \{1\}, \{2, 4\}\) są ciekawe, natomiast zbiór \(\{2, 3, 4\}\) nie jest. Ile jest ciekawych zbiorów, których największy element jest mniejszy lub równy \(17\).
Zadanie 3
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Wewnątrz koła \(o\) leży \({10}\) różnych kół \(o_1, o_2, \ldots, o_{10}\) o tej samej długości promienia, z których każde jest styczne do \(o\). Poza tym \(o_1\) jest styczne do \(o_2\), \(o_2\) jest styczne do \(o_3\), \(\ldots\), \(o_{9}\) jest styczne do \(o_{10}\), \(o_{10}\) jest styczne do \(o_1\). Poza ewentualnymi punktami styczności okręgi \(o_1, o_2, \ldots, o_{10}\) są parami rozłączne. Obliczyć część całkowitą ze stukrotności stosunku pola koła \(o\) do sumy pól kół \(o_1, o_2, \ldots, o_{10}\).
Zadanie 4
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Ile jest dodatnich liczb całkowitych \(a\) mniejszych od \(765\), dla których istnieje liczba naturalna \(b\) o tej własności, że \(ab\) podzielone przez \(765\) daje resztę \(1\)?
Zadanie 5
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Funkcja \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) spełnia równanie \[f(x^3+9x^2+27x+1)=1337x+9\] dla każdej liczby rzeczywistej. Obliczyć \(f(190)\).
Zadanie 6
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Malujemy losowo wierzchołki czworokąta kolorami: żółtym, czerwonym, zielonym i niebieskim, każdy wierzchołek innym kolorem. Malujemy losowo również boki (już bez wierzchołków) tego czworokąta tymi kolorami. Tak samo, jak w przypadku wierzchołków, każdy bok ma inny kolor. Każde kolorowanie wierzchołków i boków jest równie prawdopodobne. Niech \(p\) będzie prawdopodobieństwem zdarzenia, że dokładnie \(1\) wierzchołków będzie miało inny kolor niż sąsiadujące z nimi boki. Podać wartość \(\lfloor 24p \rfloor \).
Zadanie 7
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
W trójkącie \(ABC\) odcinek \(AM\) jest środkową. Obliczyć wartość \(|BC|^2\), jeśli \(|AB| = 6\), \(|AC| = 7\), \(|AM| = 4\).
Zadanie 8
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Wielomian \(W\) czwartego stopnia ma współczynnik wiodący \(6\) oraz \(W(1)=14\), \(W(2)=20\), \(W(3)=26\), \(W(4)=32\). Obliczyć \(W(5)\).
Zadanie 9
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
W worku jest \(1235\) monet. Na pierwszej monecie orzeł wypada z prawdopodobieństwem \(0\), na drugiej monecie orzeł wypada z prawdopodobieństwem \(1/1234\), na trzeciej monecie orzeł wypada z prawdopodobieństwem \(2/1234\), \(\ldots\), na \(1234\)-tej monecie orzeł wypada z prawdopodobieństwem \(1233/1234\), na ostatniej monecie orzeł wypada z prawdopodobieństwem \(1\). Władysław wylosował jedną monetę i wyrzucił na niej orła. Z jakim prawdopodobieństwem ponownie wyrzuci orła rzucając tą monetą? Jako wynik podać sumę licznika i mianownika uzyskanego prawdopodobieństwa wyrażonego jako ułamek nieskracalny o mianowniku dodatnim.
Zadanie 10
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
\(50\) graczy wzięło udział w turnieju szachowym. Każda para graczy zagrała ze sobą dokładnie jeden raz. Wygrana meczu przez danego gracza daje mu 1 punkt, remis 0,5 punktu, natomiast przegrana 0 punktów. Po ukończeniu turnieju okazało się, że dokładnie \(48\) graczy dzieliło pierwsze miejsce, a gracz z najmniejszą liczbą punktów wygrał \(2\) gier i miał \(12\) remisów. Znaleźć wynik gracza, który zajął przedostatnie miejsce.
