Terminarz Turnieju:

I etap: 15 X - 15 XI 2023 r.
II etap: 9 XII 2023 r.
godz. 9:00 - 14:00
Finał: 2 - 3 III 2024 r.

Patronaty:

JTM III, Etap III

Zadanie 1

Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.

(\(1+\frac{1}{2^{10}}\) punktu) Wyznaczyć liczbę rozwiązań równania \[\sin x\cos x=\sin x+\cos x\] na przedziale \((\frac{13\pi}{4};\frac{101\pi}{4})\).

Zadanie 2

Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.

(\(1+\frac{1}{2^9}\) punktu) Z kwadratu o boku \(3+3\sqrt{2}\) wycinamy cztery trójkąty w ten sposób, by pozostał ośmiokąt foremny. Pole tego ośmiokąta to \(x\). Wyznaczyć \(\lfloor 1000 x \rfloor\) (\(\lfloor a \rfloor\) to część całkowita liczby \(a\)).

Zadanie 3

Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.

(\(1+\frac{1}{2^8}\) punktu) Losujemy jedną spośród liczb naturalnych od \(1\) do \(6\) (włącznie). Następnie wybieramy losowo tyle parami różnych wierzchołków dwunastokąta foremnego, ile wynosi wylosowana przez nas liczba. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo, że wybierzemy wierzchołki wielokąta foremnego. Wyznaczyć \(\lfloor 10^6 p \rfloor\) (\(\lfloor a \rfloor\) to część całkowita liczby \(a\)).

Zadanie 4

Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.

(\(1+\frac{1}{2^7}\) punktu) Niech \(x,y,z\) będą takimi liczbami naturalnymi dodatnimi, że \(7^x+3^yz=2020\). Podać najmniejszą możliwą wartość \(z\).

Zadanie 5

Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.

(\(1+\frac{1}{2^6}\) punktu) Niech \(r\) będzie najmniejszą liczbą rzeczywistą o tej własności, że koła z brzegiem o środkach w punktach \((32k+16n,n)\), gdzie \(k,n\in\mathbb{Z}\), i promieniach długości \(r\) pokrywają całą płaszczyznę. Podać pierwiastek kwadratowy z sumy licznika i mianownika ułamka nieskracalnego liczby \(r\) o dodatnim mianowniku.

Zadanie 6

Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.

(\(1+\frac{1}{2^5}\) punktu) Wbijamy gwóźdź w globus w biegun północny. Następnie do gwoździa przywiązujemy nitkę o długości \(2\pi\) cm i kreślimy na globusie okrąg, do którego sięga nitka. Okrąg ma długość \(12\pi\) cm. Niech promień globusu ma \(x\) cm. Wyznaczyć \(\lfloor 1000 x \rfloor\) (\(\lfloor a \rfloor\) to część całkowita liczby \(a\)).

Zadanie 7

Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.

(\(1+\frac{1}{2^4}\) punktu) Niech \(x\) będzie liczbą rzeczywistą, dla której liczby \(10x+20\sqrt{2020}\) oraz \(2x^2+100\sqrt{2020}\) są wymierne. Wyznaczyć \(\lfloor 1000 x \rfloor\) (\(\lfloor a \rfloor\) to część całkowita liczby \(a\)).

Zadanie 8

Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.

(\(1+\frac{1}{2^3}\) punktu) Ile jest funkcji \(f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}\) spełniających łącznie następujące warunki:

\(f(a+b)=f(a)f(b)+f(a)+f(b)\) dla dowolnych \(a,b\in\mathbb{Z}\)
\(f(c+18)=f(c)\) dla pewnej ujemnej liczby całkowitej \(c\)?

Zadanie 9

Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.

(\(1+\frac{1}{2^2}\) punktu) Dwóch graczy gra w następującą grę. Dane są zapisane kolejno liczby \(1,2,3,\ldots,1001\). Gracze na zmianę wykonują następujący ruch: zmazanie dwóch znajdujących się obok siebie liczb \(x,y\) (gdzie \(x\) znajduje się po lewej stronie, a \(y\) po prawej) oraz zapisanie na ich miejscu liczby \(x + (-1)^x y\). Wynikiem gry nazwiemy liczbę otrzymaną po wykonaniu \(1000\) ruchów. Jaka jest największa liczba \(z\), dla której istnieje strategia gracza pierwszego zapewniająca wynik gry wynoszący co najmniej \(z\), niezależnie od ruchów gracza drugiego?

Zadanie 10

Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.

(\(1+\frac{1}{2^1}\) punktu) W państwie króla Olbrachta jednorazowo można wypłacić dowolną kwotę wyrażającą się całkowitą (i dodatnią) liczbą denarów nieprzekaczającą wartości \(2500\) denarów. Olbracht chce więc wprowadzić w swoim państwie takie trzy nominały monet, aby zminimalizować liczbę monet, spośród których można wypłacić każdą wartość od \(1\) do \(2500\) denarów. Na przykład, dla trójki \((1, 2, 3)\) potrzebujemy co najmniej \(168\) monet do przedstawienia każdej kwoty od \(1\) do \(500\) denarów (\(166\) monet o nomiale \(3\) denarów i po jednej monecie o nominale \(1\) i \(2\) denarów). Natomiast dla trójki \((1, 499, 500)\) potrzebujemy co najmniej \(499\) monet (\(498\) jednodenarówek i jednej \(499\)-denarówki), więc trójka \((1, 2, 3)\) jest lepsza od trójki \((1, 499, 500)\). Ile elementów liczy zbiór monet pozwalający wypłacić każdą wartość od \(1\) do \(2500\) denarów przy najlepszym doborze trójki?

Zadanie 11

Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.

(1 p.) Ile wynosi:\[\textrm{mex\{0,1,2,3,5,6,7\}}+\textrm{mex\{1,2,3,4,5,6,9,10,11\}}?\]

Zadanie 12

Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.

(1 p.) Niech \(F\) będzie funkcją Sprague-Grundy'ego dla gry Grim (zdefiniowaną tak jak w artykule). Dla ilu wartości \(n\in\{1,2,\ldots 190\}\) zachodzi \(F(n)\neq0?\)

Zadanie 13

Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.

(2 p. za 5 poprawnych odpowiedzi, 1 p. za 4 poprawne odpowiedzi, 0p. za 3 lub mniej poprawnych odpowiedzi) Rozważamy grę Grim na planszy w postaci rozłącznych \(n\)- i \(m\)-kąta foremnego (jak na Rys. 1). Dla kolejno \((n,m)=(5,31),(5,21),(5,13),(13,13),(6,8)\) należy określić, który z graczy posiada strategię wygrywającą --- pierwszy czy drugi. Dla poszczególnych plansz odpowiedzią jest "1" jeśli strategię wygrywającą ma pierwszy gracz, a "2" jeśli gracz, który wykonuje ruch jako drugi. Łącznie, odpowiedzią powinien być więc ciąg złożony z pięciu cyfr (zapiany bez przecinków jako liczba pięciocyfrowa, np. "12121").

Zadanie 14

Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.

(2 p.) Rozważamy grę Nim. W grze tej plansza składa się z trzech stert żetonów. Gracze wykonują ruchy naprzemiennie. W swojej kolejce gracz może zabrać dowolną niezerową liczbę żetonów, ale tylko z jednej sterty. Gracz, który nie może wykonać ruchu, przegrywa (ma to miejsce kiedy wszystkie trzy sterty są puste). Początkowo plansza składa się z trzech stert składających się z odpowiednio: \(23,135,x\) żetonów. Ile wynosi \(x\), przy którym strategię wygrywajacą ma gracz drugi?

Zadanie 15

Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.

(2 p. za 4 dobre odpowiedzi, 1 p. za 3 dobre odpowiedzi, 0 p. za 2 lub mniej dobrych odpowiedzi) Gra polega na naprzemiennym ucinaniu gałęzi drzewa. W każdym ruchu gracz wybiera wierzchołek drzewa, z którego wychodzi przynajmniej jedna krawędź i usuwa jedną krawędź wychodzącą z tego wierzchołka (jak na Rys. 2) wraz ze wszystkimi wierzchołkami i krawędziami, które zostają odłączone od korzenia drzewa (korzeń to specjalny wierzchołek, do którego nie trafia żadna krawędź - patrz Rys. 2) poprzez usunięcie wybranej krawędzi. Gracz, który nie może wykonać ruchu przegrywa (gra skończy się, kiedy drzewo składać się będzie tylko z górnego wierzchołka --- korzenia drzewa). Dla poszczególnych drzew z Rys. 3 należy określić, który z graczy ma strategię wygrywającą. Dla kolejnych drzew odpowiedzią jest cyfra "1", jeśli strategię wygrywającą ma pierwszy gracz, a "2" jeśli gracz, który wykonuje ruch jako drugi. Łącznie, odpowiedzią powinien być więc ciąg złożony z czterech cyfr (zapisany bez przecinków jako liczba czterocyfrowa, np. "1212").