JTM II, Etap IIIA

Wiedząc, że \(\tan 2x=5\) oraz, że \(\tan x<0\), podać wartość \(\cot x\).

Obliczyć najmniejszą wartość funkcji \(f(x,y)=3x-5y\) na zbiorze \[\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: |x-3y|\leq 12, |3x-y|\leq 12\}.\]

Niech \(q\) będzie najmniejszą liczbą rzeczywistą, dla której nierówność \[xyz+xyt+xzt+yzt\leq qxyzt\] zachodzi dla dowolnych parami różnych liczb pierwszych. Ile wynosi \(q\)?

Dany jest wielomian \(P(x)\) o współczynnikach rzeczywistych, który spełnia warunek \(P(5)^2=P(6)\) oraz równość \[(x-1)P(x+1)=(x+2)P(x)\] dla dowolnego \(x \in \mathbb{R}.\) Obliczyć \(P\left ( \frac{7}{8} \right)\).

Kwadrat \(ABCD\) ma bok długości \(2\). Punkt \(S\) jest punktem przecięcia przekątnych tego kwadratu i środkiem okręgu \(o\). Punkty \(E,F\) są punktami przecięcia okręgu \(o\) i boku \(AB\). Wiadomo, że \(|\sphericalangle ESF|=60^{\circ}\). Obliczyć pole części wspólnej kwadratu \(ABCD\) i koła, którego brzegiem jest okrąg \(o\).

Wykonujemy kolejne rzuty symetryczną sześcienną kostką do gry, dopóki nie wyrzucimy dwa razy pod rząd tej samej liczby oczek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pewnych dwóch kolejnych rzutach różnica wyniku następnego i poprzedniego daje resztę $1$ lub $5$ z dzielenia przez $6$?

Pisząc \(m=\overline{abcd}\) mamy na myśli, że \(a,b,c,d\) są kolejnymi cyframi dziesiętnymi liczby naturalnej \(m\). Wówczas anagramem liczby \(m\) nazwiemy liczbę \(\overline{dcba}\). Niech \(m_1\) będzie najmniejszą liczbą czterocyfrową taką, że istnieje liczba naturalna \(c_1>1\) o tej własności, że \(c_1\cdot m_1\) jest anagramem liczby \(m_1\). Oznaczmy anagram liczby \(m_1\) jako \(n_1\). Podobnie, niech \(m_2\) będzie największą liczbą czterocyfrową taką, że istnieje liczba naturalna \(c_2>1\) o tej własności, że \(c_2\cdot m_2\) jest anagramem liczby \(m_2\). Oznaczmy anagram liczby \(m_2\) jako \(n_2\). Podać sumę liczb \(m_1\) i \(n_{2}\).

W czworokącie \(ABCD\) mamy \(|\sphericalangle DAC| = 98^{\circ}\), \(|\sphericalangle DBC| = 82^{\circ}\), \(|\sphericalangle BCD| = 70^{\circ}\) oraz \(|BC| = |AD|\). Znaleźć miarę kąta \(ACD\).

W pierwszym naczyniu znajduje się \(20\) dekagramów roztworu cukru o stężeniu \(p_1=10\) procent, natomiast w drugim jest \(30\) dekagramów roztworu o stężeniu \(q_1=15\) procent. Z naczynia pierwszego przelewamy \(5\) dekagramów roztworu do drugiego naczynia, dokładnie mieszamy, po czym przelewamy \(5\) dekagramów roztworu z drugiego naczynia do pierwszego i znów mieszamy. W ten sposób otrzymujemy roztwory o stężeniach \(p_2\) procent w pierwszym naczyniu i \(q_2\) procent w drugim. Po wykonaniu \(n-1\)-krotnie opisanej powyżej procedury otrzymamy roztwory o stężeniach \(p_n\) procent w pierwszym naczyniu i \(q_n\) procent w drugim. Niech \(g\) będzie wartością, do której zmierza ciąg \(p_n\). Wyznaczyć \(g\).

Obliczyć \[\frac{1}{\sin\frac{2\pi}{15}}+\frac{1}{\sin\frac{4\pi}{15}}+\frac{1}{\sin\frac{8\pi}{15}}+\frac{1}{\sin\frac{16\pi}{15}}.\]