JTM II, Etap IIIB

Prawdziwość zdania \(p\Leftrightarrow q\) wynosi co najmniej \(\frac{9}{10}\), a prawdziwość zdania \(q\Leftrightarrow r\) wynosi co najmniej \(\frac{8}{10}\). Podaj zbiór wszystkich możliwych prawdziwości zdania \(p\Leftrightarrow r\).

Niech \(a,b\) i \(c\) będą punktami w przestrzeni i niech \(d(a,b)\) oznacza odległość między punktami \(a\) i \(b\). Zdefiniujmy prawdziwość zdania ,,\(a\) leży blisko \(b\)'' jako \(\mbox{max}(1-d(a,b),0)\). Wiemy, że prawdziwość zdania ,,\(a\) leży blisko \(b\)'' to \(\frac{4}{10}\), a prawdziwość zdania ,,\(b\) leży blisko \(c\)'' to \(\frac{3}{10}\). Podaj zbiór wszystkich możliwych prawdziwości zdania ,,\(a\) leży blisko \(c\)''.

Wyznacz zbiór możliwych prawdziwości zdania \(p\Rightarrow\sim p\).

Prawdziwość zdania ,,Adam jest podobny do Bartka'' wynosi \(\frac{7}{10}\), a prawdziwość zdania ,,Bartek jest podobny do Cezarego'' wynosi \(\frac{85}{100}\). Prawdziwość zdania ,,jeśli Adam jest podobny do Bartka i Bartek jest podobny do Cezarego, to Adam jest podobny do Cezarego'' wynosi \(\frac{8}{10}\). Ile wynosi prawdziwość zdania ,,Adam jest podobny do Cezarego''?

Ile najwięcej może wynosić prawdziwość zdania \((p\Rightarrow q)\Leftrightarrow(q\:\vee\sim p)\)?

Zaobserwowano, że dla każdego \(1\leq n\leq 6\) prawdziwość zdania ,,jeśli \(n\) lutego 2019 była ładna pogoda, to \(n+1\) lutego 2019 była ładna pogoda'' wynosi przynajmniej \(\frac{9}{10}\). Ile najwięcej może wynosić róznica między prawdziwościami zdań ,,1 lutego 2019 była ładna pogoda`` i ,,7 lutego 2019 była ładna pogoda``?

Niech \(x\) będzie liczbą rzeczywistą i niech \([x]\) oznacza cechę (podłogę) z \(x\). Definiujemy prawdziwość zdania ,,\(x\) leży blisko zbioru liczb całkowitych'' jako \(|2x-2[x]-1|\). Wyznacz najmniejsze takie \(y>\sqrt{7}\), aby prawdziwość zdania ,,\(y\) leży blisko zbioru liczb całkowitych \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{2}\) leży blisko zbioru liczb całkowitych'' wynosiła 1.

Niech \(A\) i \(B\) będzą skończonymi i niepustymi podzbiorami zbioru liczb całkowitych. Definiujemy prawdziwość zdania ,,\(A\) składa się z liczb parzystych'' jako ilość parzystych liczb należących do \(A\) podzieloną przez ilość elementów zbioru \(A\). Wiemy, że prawdziwość zdania ,,\(A\) składa się z liczb parzystych'' to \(\frac{6}{10}\), a prawdziwość zdania ,,\(B\) składa się z liczb parzystych'' to \(\frac{8}{10}\). Ile najwięcej może wynosić prawdziwość zdania ,,suma zbiorów \(A\) i \(B\) składa się z liczb parzystych''

Niech prędkości maksymalne samochodów \(A\), \(B\) i \(C\) to odpowiednio \(V_A\), \(V_B\) i \(V_C\). Definiujemy prawdziwość zdania ,,samochód \(B\) jest szybszy od samochodu \(A\)'' jako max(\(0,\mbox{min}(\frac{V_B}{V_A}-1,1)\)). Wiadomo, że suma prawdziwości zdań ,,samochód \(B\) jest szybszy od samochodu \(A\)'' oraz ,,samochód \(C\) jest szybszy od samochodu \(B\)'' wynosi \(\frac{1}{2}\). Wiemy również, że \(V_A=160\) km/h. Ile najwięcej wynosić może \(V_C\)?

Dla trójkąta rozwartokątnego \(T\) o kątach \(\alpha, \beta\) i \(\gamma\) zdefiniujmy prawdziwość zdania ,,\(T\) przypomina trójkąt prostokątny'' jako \(1-\mbox{min}(20|\alpha-\frac{\pi}{2}|,20|\beta-\frac{\pi}{2}|,20|\gamma-\frac{\pi}{2}|,1)\). Trójkąt \(T\) podzielono na pięć trójkątów \(T_1, T_2,\ldots,T_5\). Ile najwięcej wynosić może minimum spośród prawdziwości zdań ,,\(T_1\) przypomina trójkąt prostokątny'',\(\ldots\),,,\(T_5\) przypomina trójkąt prostokątny''?