JTM I, Etap IIIA

Na potrzeby tego zadania przyjmijmy następujące nazewnictwo:

• pisząc ,,kilka'', mamy na myśli liczbę naturalną ze zbioru \(\{2,...,9\}\);
• pisząc ,,kilkanaście'', mamy na myśli liczbę naturalną ze zbioru \(\{11,...,19\}\);
• pisząc ,,kilkadziesiąt'', mamy na myśli liczbę naturalną ze zbioru \(\{50,...,99\}\);
• pisząc ,,kilkaset'', mamy na myśli liczbę naturalną ze zbioru \(\{500,...,999\}\).

Pewien nowy artykuł sklepowy cieszy się coraz większą popularnością. W pierwszym dniu sprzedano jego kilka egzemplarzy, w drugim kilkanaście, w trzecim kilkadziesiąt, natomiast w czwartym kilkaset. Liczby sprzedanych egzemplarzy w kolejnych dniach tworzą ciąg geometryczny. Ile egzemplarzy tego artykułu sprzedano w ciągu tych czterech dni?

Na planie architektonicznym pewnego budynku podstawa jego dachu jest wyznaczona nierównościami \(|10x+2y+7|\leq 45\) oraz \(-10\leq 2y+2\leq 13-x\). Wysokość punktu tego dachu o współrzędnych \((x,y)\) na tym planie wyrażona w decymetrach przedstawia się wzorem \(h=|x-1|-|y+1|-2x+3y+35\). Wyznaczyć wysokość wyrażoną w decymetrach najwyższego punktu dachu.

Niech \(S\) oznacza najmniejszą wartość funkcji \(f:\left (0, \frac{\pi}{2} \right ) \to \mathbb{R}\) danej jako \[f(x) = \left ( \frac{1}{9} + \frac{32}{\sin x} \right )\left ( \frac{1}{32} + \frac{9}{\cos x} \right ).\] Wyznaczyć część całkowitą liczby \(S\).

Liczbę naturalną dodatnią nazwiemy dziwną, jeśli posiada dzielnik pierwszy większy od jej pierwiastka kwadratowego. Ile jest dziwnych liczb naturalnych dodatnich, których wszystkie dzielniki pierwsze są mniejsze od \(40\)?

Kwadratowy arkusz papieru w kratkę podzielony jest na \(2^{12}\) kwadracików ponumerowanych liczbami \(1\), \(2\), \(3\), ..., \(2^{12}-1\), \(2^{12}\) rzędami, jak na rysunku.

Akcją L nazwiemy przecięcie arkusza dokładnie w połowie w pionie i pozostawieniu lewej części. Analogicznie zdefiniujmy akcje P, G, D, które oznaczać będą odpowiednio przecięcia: w pionie i pozostawienie prawej części, w poziomie i pozostawienie górnej części oraz w poziomie i pozostawienie dolnej części. Po wykonaniu \(12\) takich akcji pozostanie jeden kwadracik. Na ile sposobów, wykonując akcje L, P, G, D, możemy otrzymać kwadracik o numerze \(2017\)?

W trójkącie \(ABC\) kąt \(CAB\) ma miarę \(120^{\circ}\), zaś kąt \(BCA\) \(180^{\circ}-2\alpha\). Punkt \(M\) został tak wybrany na odcinku \(BC\), że kąty \(CAM\) i \(AMC\) mają miarę \(\alpha\). Wiedząc, że \(\tan\alpha=5\sqrt{3}\), podać licznik ilorazu \(\frac{|BM|}{|AB|}\) zapisanego w postaci ułamka nieskracalnego o dodatnim mianowniku.

Wielomian piątego stopnia \(W\) ma współczynnik wiodący równy \(-7\). Ponadto \(W(1)=-2\), \(W(2)=-4\), \(W(3)=-6\), \(W(4)=-8\), \(W(5)=-10\). Ile wynosi współczynnik wolny wielomianu \(W\)?

Jaś gra w następującą grę. Rzuca symetryczną sześcienną kostką, a wyrzuconą liczbę oczek zapisuje na kartce. Ponadto, za każdym razem, gdy wyrzuci jedno lub dwa oczka, to rzuca kostką jeszcze raz. W przeciwnym przypadku przestaje rzucać kostką. Dla przykładu, jeśli Jaś wyrzuci jedno oczko, to zapisuje na kartce liczbę \(1\) i rzuca jeszcze raz. Jeśli za drugim razem wyrzuci cztery oczka, to zapisuje na kartce liczbę \(4\) i kończy grę. Po zakończeniu gry Jaś dodaje do siebie zapisane liczby. W powyższym przykładzie otrzyma więc sumę \(1+4=5\). Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma wyrzuconych przez Jasia oczek wyniesie \(4\). Wynik podać w postaci ułamka nieskracalnego o dodatnim mianowniku.

Znaleźć sumę długości krawędzi czworościanu wiedząc, że istnieje kula styczna do wszystkich jego krawędzi oraz długości pewnych jego krawędzi skośnych to \(3\) i \(5\).

Niech \(f:\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\rightarrow\mathbb{R}\) będzie funkcją spełniającą równość \[f\left(\frac{1}{1-x}\right)+2f\left(\frac{x-1}{x}\right)=3x\] dla dowolnej liczby rzeczywistej \(x\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\). Podać wartość \(f(-1)\).