JTM V, Etap III
Przy każdym zadaniu znajduje się informacja o liczbie punktów jakie można uzyskać za rozwiązanie danego zadania
Zadanie 1
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
(\(1+2^{-12}\) punktów) Znaleźć wartość wyrażenia \[1234a^2+1235b^2+b-432ab,\] gdzie \(a>b\) są pierwiastkami równania \(x^2+x-11=0\).
Zadanie 2
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
(\(1+2^{-11}\) punktów) Na ile sposobów z klasy, w której jest \(8\) dziewczynek i \(8\) chłopców można wybrać grupę, w której jest o \(5\) więcej dziewczynek niż chłopców?
Zadanie 3
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
(\(1+2^{-10}\) punktów) Na oceanie doszło do wylewu ropy. Skażony jest teren o kształcie trójkąta o wierzchołkach w punktach \(A(15,48)\), \(B(51,30)\), \(C(75,78)\) - dane w układzie współrzędnych, w którym każdy odcinek jednostkowy ma kilometr długości. Niestety, okazało się, że po każdym dniu skażony zostaje każdy punkt odległy o co najwyżej kilometr od dowolnego, już skażonego (w poprzednich dniach) punktu.Obliczyć część całkowitą pola powierzchni \(P\) obszaru skażonego po \(10\) dniach wyrażonego w kilometrach kwadratowych.
Zadanie 4
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
(\(1+2^{-9}\) punktów) Dany jest pięciokąt wklęsły \(ABCDE\). Wiadomo, że \(|BC|=147\), \(|CD|=139\), \(|DE|=1413\), \(|EA|=120\), \(|\sphericalangle ABC|=|\sphericalangle DEA|=90^\circ\) oraz \(|\sphericalangle CDE|=270^\circ\). Obliczyć długość boku \(AB\).
Zadanie 5
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
(\(1+2^{-8}\) punktów) Andrzej i Maks grają w grę. Na tablicy napisana jest pewna dodatnia liczba całkowita \(k\). W jednym ruchu gracz zastępuje ją liczbą \(k-d\), gdzie \(d\) jest pewnym dzielnikiem dodatnim liczby \(k\). Przegrywa gracz, który wpisze \(0\). Grę rozpoczyna Andrzej. Ile jest takich liczb całkowitych dodatnich \(n\in\{1234,\ldots,23324\}\), przy których Andrzej ma strategię wygrywającą, jeśli na początku rozgrywki na tablicy widnieje \(n\)?
Zadanie 6
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
(\(1+2^{-7}\) punktów) Podać liczbę rozwiązań równania \[(x+51)^2+(y+51)^2-(x+y+50)^2=0\] w liczbach całkowitych nieujemnych.
Zadanie 7
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
(\(1+2^{-6}\) punktów) Funkcja \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) spełnia równanie \[f(2x)+2f(y)=f(f(x+y))\] dla dowolnych liczb całkowitych \(x,y\). Wiedząc, że \(f(5)=1653\), obliczyć \(f(2022)\).
Zadanie 8
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
(\(1+2^{-5}\) punktów) Sześcian \(ABCDA'B'C'D'\), gdzie \(ABCD\) i \(A'B'C'D'\) są ścianami sześcianu oraz \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\), \(DD'\) są jego krawędziami, ma bok długości \(1653\). Punkty \(E\), \(F\) i \(G\) są odpowiednio środkami boków \(AB\), \(AD\) i \(AA'\). Jaką długość ma promień sfery wpisanej w wielościan \(AEFGC'\) wyznaczony przez krawędzie \(AE\), \(AF\), \(AG\), \(EF\), \(FG\), \(EG\), \(EC'\), \(FC'\) i \(GC'\)? Jako wynik podać część całkowitą długości tego promienia.
Zadanie 9
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
(\(1+2^{-4}\) punktów) Wyznaczyć najmniejszą wartość wyrażenia \[64\textrm{tg}^{3}(x)+729\textrm{ctg}^{2}(x)\] dla \(x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\).
Zadanie 10
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
(\(1+2^{-3}\) punktów) Okrąg o środku w punkcie \((342,342)\) i promieniu \(r\) jest styczny do hiperboli o równaniu \(y=\frac{29200}{x}\) w dwóch punktach. Ile wynosi \(r\)?
Zadanie 11
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
(\(1+2^{-2}\) punktów) Wyznaczyć największą taką liczbę całkowitą dodatnią \(x_{5}\), że\[\sum_{1\leq i < j \leq 5} x_ix_j = x_1...x_{5}\]dla pewnych całkowitych dodatnich \(x_1,...,x_{4}\), przy czym \(x_1=x_{2}=1\).
Zadanie 12
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
(\(1+2^{-1}\) punktów) Ile jest liczb całkowitych \(m\) o wartości bezwzględnej nieprzekraczającej \(65678\), dla których wielomian\[P(x)=x^8+mx^4+1\]da się przedstawić w postaci iloczynu dwóch niestałych wielomianów o współczynnikach całkowitych?
