JTM V, Etap II
Każde z poniższych zadań warte jest taką samą liczbę punktów. Kolejność zadań nie jest powiązana z ich poziomem trudności.
Zadanie 1
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Rozważmy funkcję \(F:\mathbb{N}_+\to\mathbb{N}_+\), która dodatniej liczbie całkowitej \(n\) przyporządkowuje liczbę powstałą przez dodanie do \(n\) \(2\)-krotności cyfry jednostek liczby \(n\), np. \(F(1234)=1234+2\cdot 4=1234+8=1242\). Obliczyć \[\underset{\tiny{20\text{ razy}}}{\underbrace{F(F(\ldots (F}}(1234))\ldots )).\]
Zadanie 2
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Wyznaczyć największą wartość funkcji \(f(x,y)=6x-5y-8\) na zbiorze zadanym nierównościami \[|x+y|+|x-y|\leq 18,\quad |y-x|\leq 9, x,y\in\mathbb{R}.\]
Zadanie 3
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Podać liczbę rozwiązań równania\[|\ldots |||\log_{123} x|-1|-2|-\ldots -123|=61.\]
Zadanie 4
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Znaleźć liczbę sposobów na przedstawienie \(2925\) jako sumy kolejnych dodatnich liczb całkowitych (np. traktujemy \(12\) i \(3+4+5\) jako przedstawienia liczby \(12\) jako sumy kolejnych dodatnich liczb całkowitych).
Zadanie 5
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
W czworokącie wypukłym \(ABCD\) boki mają długości \(|AD|=2827\), \(|AB|=1234\), \(|BC|=9491\), \(|CD|=5432\). Ile wynosi długość przekątnej \(BD\), jeśli jest ona liczbą naturalną?
Zadanie 6
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Sfery \(s_1\), \(s_2\), \(s_3\), \(s_4\) i \(s_5\) są parami styczne zewnętrznie. Sfery \(s_1\), \(s_2\), \(s_3\) i \(s_4\) mają promień długości \(2279\). Podać \(\lfloor 1000r_5\rfloor\), gdzie \(r_5\) jest długością promienia sfery \(s_5\)?
Zadanie 7
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Na bokach \(BC\) i \(AC\) trójkąta \(ABC\) zaznaczono odpowiednio punkty \(X\) i \(Y\). Punkt \(Z\) jest punktem przecięcia odcinków \(AX\) i \(BY\). Obliczyć pole trójkąta \(ABC\) wiedząc, że pola trójkątów \({AYZ}\), \({BXZ}\), \({ABZ}\) wynoszą odpowiednio \(12\), \(98\), \(35\).
Zadanie 8
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(P(x)\) będzie wielomianem czwartego stopnia owspółczynnikach całkowitych i współczynniku wiodącym równym \(1\), który spełnia\[P(\sqrt{2}+\sqrt{3})=0.\]Wyznaczyć sumę współczynników wielomianu \(P\).
Zadanie 9
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Student matematyki Michał wybiera się z Wydziału Matematyki i Informatyki do domu. Droga między wydziałem a domem Michała ma długość \(4500\) metrów. Widzi, że w Kole Matematyków Studentów stoi dzbanek z \(3\) litrami gorącej herbaty. Ponieważ Michał jest miłośnikiem herbaty, wypija jej losową dodatnią całkowitą liczbę szklanek (szklanka ma objętość \(250\) ml). Michał wie, że będzie potrzebował w drodze skorzystać z toalety. Co więcej, wie, że po wypiciu \(p\) szklanek herbaty przejdzie \(4500-200p\) metrów. Michał pamięta, że między wydziałem a domem jest dokładnie jedna toaleta, ale w ogóle nie pamięta, gdzie. Zakładając, że toaleta znajduje się na \(j\)-tym metrze drogi, \(j\in\{1,\ldots,4500\}\), z prawdopodobieństwem \(\frac{1}{4500}\), obliczyć, jakie jest prawdopodobieństwo tego, że Michał zdoła dotrzeć do toalety. Po dotarciu do niej może następnie pokonać dowolnie długi dystans. Jako wynik podać sumę licznika i mianownika uzyskanego prawdopodobieństwa zapisanego w postaci ułamka nieskracalnego o dodatnim mianowniku.
Zadanie 10
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Dla danego trójkąta przez \(R\) oznaczamy promień okręgu opisanego na tym trójkącie, a przez \(K\) sumę cotangensów jego kątów wewnętrznych. Znaleźć najmniejszą wartość całkowitą wyrażenia \(10000K/R\), jeśli dwa spośród boków trójkąta mają długości \(54\) i \(13435\).
