JTM III, Etap II
Zadanie 1
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Wyznaczyć maksimum z wartości bezwzględnych wartości funkcji \(f(x)=-x^2+132x-3872\) dla \(x\in\langle 0,110\rangle\).
Zadanie 2
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Podać liczbę ścieżek prowadzących z punktu \((0,0)\) w kartezjańskim układzie współrzędnych do punktu \((12,14)\), gdzie w każdym kroku możemy się poruszać o wektor \((1,0)\), \((0,1)\) lub \((1,1)\), przy czym o wektor \((1,1)\) poruszamy się dokładnie \(9\) razy.
Zadanie 3
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Wyznaczyć wartość\[-\sqrt{19+\sqrt{360}}+\sqrt{19-\sqrt{360}}.\]
Zadanie 4
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu \(o\). Punkty \(A\), \(C\), \(D\), \(B\) kolejno leżą na jednym półokręgu okręgu \(o\). Wiedząc, że \(|AC|=343\) i \(|CD|=|BD|=550\), obliczyć długość promienia okręgu \(o\).
Zadanie 5
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Definiujemy ciąg \((a_n)\) następująco:\[a_1=25,\quad a_n=5(a_1+a_2+...+a_{n-1}), n>1.\]Obliczyć resztę z dzielenia \(a_{54}\) przez \(551\).
Zadanie 6
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Punkt \(P\) należy do wykresu funkcji \(y(x)=(22+5\sqrt{19})x+(24+25\sqrt{19})\) i ma obydwie współrzędne wymierne. Podać rzędną punktu \(P\).
Zadanie 7
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Dane niech będą punkty \(A_j=(j,0)\) dla \(j\in\{0,...,22\}\), \(B=(0,1)\), \(C=(-1,1)\). Niech \(\alpha_j\) będzie miarą kąta wypukłego \(BA_jC\) dla \(j\in\{0,...,22\}\). Obliczyć \(\tan(\alpha_0+...+\alpha_{22})\).
Zadanie 8
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Wśród \(3^{22}\) monet dwie są fałszywe, a pozostałe prawdziwe. Wszystkie monety prawdziwe są tej samej wagi, również obie fałszywe są tej samej wagi, ale mniejszej niż waga prawdziwych. Mamy do dyspozycji wagę szalkową. Wyznaczyć najmniejsze \(k\), dla którego istnieje ciąg \(k\) ważeń gwarantujący wykrycie fałszywych monet.
