JTM II, Etap II
Zadanie 1
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Adam ma teraz \(3\) razy tyle lat, ile Bartek miał wtedy, gdy Czesław miał tyle, ile Adam ma teraz. Gdy Bartek będzie miał tyle lat, ile Adam ma teraz, to Czesław będzie miał \(2\) razy tyle, ile Adam miał wtedy, gdy Czesław miał tyle, ile Adam ma teraz. Ile lat ma teraz Czesław, jeśli razem mają \(80\) lat?
Zadanie 2
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Kalkulator może wyświetlić maksymalnie \(7\) cyfr i jedną kropkę. Po ilu naciśnięciach przycisku ,,pierwiastek kwadratowy'' zacznie wyświetlać \(1\), jeżeli początkowo wyświetlał \(99299\)? Zakładamy, że kalkulator wyświetla przybliżenie wyniku do tylu miejsc po przecinku, aby miało co najwyżej \(7\) cyfr w rozwinięciu dziesiętnym. Przez przybliżenie rozumiemy przybliżenie z niedomiarem, gdy pierwsza pomijana cyfra jest mniejsza niż 5, i z nadmiarem w przeciwnym przypadku.
Zadanie 3
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Promień okręgu opisanego na ośmiokącie foremnym \(ABCDEFGH\) ma długość \(3\). Obliczyć iloczyn długości odcinków \(AB\), \(AC\) i \(AD\).
Zadanie 4
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Wielomian \(x^3+ cx + 1024\) ma pierwiastek podwójny. Wyznaczyć wartość \(|c|\).
Zadanie 5
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Dana jest funkcja \(f\colon\mathbb N\rightarrow\mathbb N\) o następujących własnościach:
- \(f(0) = 1\),
- \(f(2n) = 4f(n) - 2n - 3\) dla każdego \(n\in\mathbb N\),
- \(f(2n + 1) = f(2n) + 4n + 2\) dla każdego \(n\in\mathbb N\).
Obliczyć \(f(1002)\). Uwaga: Przyjmujemy, że \(0\in\mathbb N\).
Zadanie 6
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Ile jest takich wielomianów stopnia co najwyżej \(55\) o współczynnikach ze zbioru \(\{0,1,2,3\}\), że \(W(3)\leq 3^{55}-1\)? Podać resztę z dzielenia wyniku przez \(255\).
Zadanie 7
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(\alpha,\beta\in\mathbb R\setminus\{k\frac{\pi}{2}:k\in\mathbb Z\}\) będą takimi liczbami rzeczywistymi, że \(\textrm{ctg}\alpha+\textrm{ctg}\beta\neq 0\). Wiadomo, że \(\textrm{tg}\alpha + \textrm{tg}\beta = 15252\), zaś \(\textrm{tg}(\alpha+\beta) = 123\). Ile wynosi \(\frac{\textrm{tg}\alpha + \textrm{tg}{\beta}}{\textrm{ctg}\alpha + \textrm{ctg}\beta}\)?
Zadanie 8
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Wierzchołki ośmiościanu foremnego są środkami ścian sześcianu. Długość krawędzi ośmiościanu wynosi \(36\). Ile wynosi pole powierzchni całkowitej sześcianu?
