JTM I, Etap II
Każde z poniższych zadań warte jest taką samą liczbę punktów. Kolejność zadań nie jest powiązana z ich poziomem trudności.
Zadanie 1
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Jaką liczbą całkowitą jest liczba\[\sqrt{9+\sqrt{32}}-\sqrt{9-\sqrt{32}}?\]
Zadanie 2
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
W trójkącie \(ABC\) boki mają długości \(|BC|=6\), \(|CA|=7\), \(|AB|=8\). Punkt \(D\) jest środkiem boku \(BC\). Prosta \(AD\) przecina prostą \(BC\) pod kątem \(\alpha\). Liczba \(\sin^2 \alpha\) jest wymierna. Podaj sumę licznika i mianownika tej liczby zapisanej w postaci ułamka nieskracalnego o dodatnim mianowniku.
Zadanie 3
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Danych jest \(20\) zdań logicznych o numerach od 1 do 20. Zdanie numer \(k\) jest następujące:
Co najmniej \(k\) spośród tych zdań jest fałszywych.
Ile spośród tych zdań jest fałszywych?
Zadanie 4
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Oblicz\[\frac{1}{2\lfloor\sqrt{1}\rfloor+1}+\frac{1}{2\lfloor\sqrt{2}\rfloor+1}+\frac{1}{2\lfloor \sqrt{3}\rfloor+1}+...+\frac{1}{2\lfloor\sqrt{999999}\rfloor+1}.\]
Zadanie 5
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Ile liczb całkowitych \(x\) z przedziału \(\langle -2\pi, 2\pi\rangle\) spełnia nierówność\[\frac{\sin x+6\cos x+1}{3+\cos x}\leq 2\cos x?\]
Zadanie 6
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Sześcian \(ABCDA'B'C'D'\) ma krawędź długości \(1050\). Punkt \(M\) jest środkiem krawędzi \(A'B'\). Punkty \(P\) i \(Q\) leżą na krawędzi \(CD\) oraz \(|CP|=|DQ|=500\). Punkty \(S\) i \(T\) leżą na odcinkach \(AM\) i \(BM\) odpowiednio oraz punkty \(P\), \(Q\), \(S\), \(T\) są kolejnymi wierzchołkami prostokąta na płaszczyźnie. Oblicz jego pole. W odpowiedzi zapisz jego część całkowitą.
Zadanie 7
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Dany jest zbiór \(S = \{1,...,21\}\). Niech \(n\) będzie liczbą podzbiorów \(T\) zbioru \(S\) o własności, że suma wszystkich elementów podzbioru \(T\) jest większa lub równa \(116\). Oblicz resztę z dzielenia \(n\) przez \(62\).
Zadanie 8
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Wyznacz największą liczbę naturalną \(n\) taką, że \(((n!)!)!\) dzieli \((5041!)!\).
Zadanie 9
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) będzie funkcją spełniającą równość\[f(x+y^2)+f(x^2y)=x(5+xy)+y(4x^2+5y)+10\]dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x,y\). Oblicz \(f(-6)\).
Zadanie 10
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
W trapezie \(ABCD\) podstawy \(AB\) i \(CD\) mają długości \(53\) oraz \(13\) odpowiednio, a ramiona \(BC\) i \(DA\) odpowiednio \(37\) i \(13\). Oblicz pole trapezu \(ABCD\).
Zadanie 11
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Na osi liczbowej znajduje się żeton, początkowo w punkcie \(0\). Żeton co sekundę przemieszcza się losowo z równym prawdopodobieństwem o jeden w prawo lub lewo. Wyznacz prawdopodobieństwo, że po \(18\) sekundach żeton powróci do punktu \(0\). Jako odpowiedź podaj licznik wyniku zapisanego jako ułamek nieskracalny o dodatnim mianowniku.
Zadanie 12
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Podaj maksymalną wartość funkcji \(f(x)=7 \cos x-24\sin x\).
Zadanie 13
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Znajdź taką liczbę naturalną \(n\), że \(2^n\mid 3^{(2^{8})} - 1\) oraz \(2^{n+1}\nmid 3^{(2^{8})} - 1\).
Zadanie 14
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Jaka jest największa możliwa objętość prostopadłościanu wpisanego w kulę o promieniu \(3\sqrt{3}\)?
Zadanie 15
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Dwie osoby grają w następującą grę: na tablicy napisana jest liczba \(1\). Gracz musi zmazać liczbę z tablicy i w jej miejsce wpisać liczbę od niej większą o mniej niż \(3\). Zatem rozpoczynający pisze liczbę M, która spełnia nierówności: \(1 < M < 4\). Gracze wykonują ruchy na przemian, dopóki któryś nie zapisze liczby \(2017\). Ten gracz wygrywa. Jaką liczbę w swoim \(5\)-tym ruchu zapisze gracz posiadający strategię wygrywającą?
