JTM III, Etap I
Zadanie 1
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Obliczyć kwadrat sumy ujemnych pierwiastków równania \[x^4-22x^2+25=0.\]
Zadanie 2
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
W pojemniku mamy \(29\) kulek, z których część jest biała, a część czarna. Ile co najmniej musi być białych kulek w pojemniku, aby prawdopodobieństwo, że przy losowaniu dwóch kulek bez zwracania wylosowano obie czarne było mniejsze niż \(\frac{11}{30}\)?
Zadanie 3
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Trzy krawędzie boczne pewnego ostrosłupa, którego podstawą jest kwadrat, mają długości \(6536\), \(810\) oraz \(4650\). Obliczyć długość czwartej krawędzi bocznej.
Zakładamy, że krawędzie o długościach \(6536\) oraz \(810\) wychodzą z naprzeciwległych wierzchołków podstawy.
Zadanie 4
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Wiedząc, że \(\cos 3x=\frac{-413}{432}\) i \(\cos x\) jest liczbą wymierną, obliczyć \(\cos x\). Podać wartość bezwzględną sumy licznika i mianownika odpowiedzi przedstawionej w postaci ułamka nieskracalnego.
Zadanie 5
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Obszar Kanciastej Krainy opisuje się nierównościami \(|2x+2y-6|\leq 18\) oraz \(|3x+5y-13|\leq 18\), gdzie punkt o współrzędnych \((x,y)\) to punkt odległy o \(x\) kilometrów na wschód od pewnego punktu odniesienia (w przypadku wartości \(x\) ujemnej, jest to punkt odległy o \(|x|\) kilometrów na zachód) i \(y\) kilometrów na północ (lub \(|y|\) kilometrów na południe w przypadku \(y\) ujemnego) od tego punktu odniesienia. Wysokość bezwzględna punktu Kanciastej Krainy o współrzędnych \((x,y)\) wyrażona w metrach nad poziomem morza przedstawia się wzorem \(h=2||2x+2y-6|+|3x+5y-13|-9|-3-|2x+2y-6|-|3x+5y-13|\). Obliczyć pole obszaru Kanciastej Krainy leżącego w depresji (czyli pod poziomem morza). Podać część całkowitą tej liczby.
Zadanie 6
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Prawdopodobieństwo opadów danego dnia wynosi \(5/17\), jeśli poprzedniego dnia były opady, i \(4/13\), jeśli poprzedniego dnia ich nie było. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za \(31\) dni będą opady, jeśli dziś spadł deszcz? Podać kolejne sześć cyfr rozwinięcia dziesiętnego wyniku począwszy od pierwszej niezerowej cyfry z pominięciem przecinka, bez zaokrągleń. Jeśli odpowiedzią jest "0.0011234577777...", należy wpisać "112345".
Zadanie 7
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Rozważmy funkcję \(f_0\colon [0, 1)\rightarrow\mathbb{R}\) daną wzorem\[f_0(x)=x-\frac{1}{2}.\]Określmy \(f_{n+1}(x)=f_n(\{22x/13\})\), gdzie \(\{x\}=x-\lfloor x\rfloor\) jest częścią ułamkową liczby \(x\). Niech \(\theta_n\) będzie tangensem największego kąta ostrego, jaki wykres funkcji \(f_n\) tworzy z osią \(OX\). Znaleźć \(\lfloor\theta_{12}\rfloor\).
Zadanie 8
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(x_1, ..., x_{22}\) będą takimi liczbami całkowitymi dodatnimi, że \(x_1\cdot x_2\cdot ...\cdot x_{22} = x_1 + x_2 + ... + x_{22}\). Jaka jest maksymalna możliwa wartość największej z liczb \(x_1, x_2, ... , x_{22}\)?
Zadanie 9
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(E,F\) będą takimi punktami leżącymi we wnętrzu kwadratu \(ABCD\), że \(|\sphericalangle AEF|=|\sphericalangle EFC|=90^{\circ}\) oraz \(|AE|=2\), \(|CF|=5\) i \(|EF|=5\). Obliczyć pole kwadratu \(ABCD\).
Zadanie 10
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Rozważmy następującą grę. Dwóch graczy odłamuje na przemian pionowe lub poziome linijki z prostokątnej tabliczki czekolady. W każdym ruchu gracz może ułamać jedną lub dwie linijki, albo pionowe z prawej strony, albo poziome od dołu. Kostka czekolady lewym górnym rogu tabliczki jest zatruta. Gracz zmuszony do jej zabrania przegrywa. Ile jest różnych prostokątnych tabliczek czekolady liczących \(4556250000\) kostek, dla których pierwszy gracz posiada strategię wygrywającą (tabliczki o rozmiarach \(n\times m\) i \(m\times n\) uważamy za takie same)?
Zadanie 11
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(f_1, f_2\colon \{0,1,\ldots,21\} \rightarrow \{0,1,\ldots,21\}\) będą takimi funkcjami, że \(f_1(k)=k+1\) dla \(k<21\), \(f_2(k)=k\) dla \(k<21\) oraz \(f_1(21)=f_2(21)=0\). Niech \(g_{i_1,i_2,\ldots,i_m}(k) = f_{i_1}(f_{i_2}(\ldots f_{i_m}(k)\ldots ))\) dla \(i_1, i_2, \ldots,i_m \in \{1,2\}\). Znaleźć największe \(m\), dla którego niezależnie od wyboru \(i_1, i_2, \ldots,i_m \in \{1,2\}\) funkcja \(g_{i_1,i_2,\ldots,i_m}\) nie jest funkcją stałą.
Zadanie 12
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech\[A=\sum_{n=1}^{19936} n^{39873},\]natomiast \(R\) będzie resztą z dzielenia liczby \(A\) przez \(19937^2\). Wyznaczyć trzy ostatnie cyfry dziesiętne liczby \(R\). Uwaga: \(19937\) jest liczbą pierwszą.
