JTM II, Etap I
Każde z poniższych zadań warte jest taką samą liczbę punktów. Kolejność zadań nie jest powiązana z ich poziomem trudności.
Zadanie 1
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Wyznaczyć wartość\[\sqrt[3]{\frac{115+\sqrt{\frac{357043}{27}}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{115-\sqrt\frac{357043}{27}}{2}}.\]
Zadanie 2
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Jaki jest kwadrat długości przekątnej pięciokąta foremnego o boku długości \(\frac{5\sqrt{3}-\sqrt{15}}{2}\)?
Zadanie 3
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Podać największą liczbę naturalną, której nie można przedstawić w postaci \(105m+733n\), gdzie \(m,n\) są pewnymi liczbami naturalnymi (uznajemy, że zero jest liczbą naturalną).
Zadanie 4
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech\[P(x)=x^{43}+a_{42}x^{42}+\ldots +a_2x^2+a_1x+a_0\]będzie takim wielomianem, że \(P\left(\frac{(-1)^{k-1}}{k}\right)=0\) dla każdego \(k\in\{1,2,\ldots,43\}\). Wyznaczyć wartość \(|43!a_2|\).
Zadanie 5
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Okręgi \(o_1\) i \(o_2\) są styczne zewnętrznie i mają promienie odpowiednio \(r_1=\frac{1}{5^2}\) i \(r_2=\frac{1}{2^2}\). Niech \(k\) będzie wspólną styczną do tych okręgów. Niech \(o_3\) będzie okręgiem stycznym zewnętrznie z okręgami \(o_1\) i \(o_2\), stycznym do prostej \(k\) oraz zawartym w trójkącie, którego wierzchołkami są punkt styczności okręgów \(o_1\), \(o_2\) ze sobą i punkty styczności tych okręgów do prostej \(k\). Ogólniej, dla każdego \(n\geq 3\), niech \(o_n\) będzie okręgiem stycznym zewnętrznie z okręgami \(o_1\) i \(o_{n-1}\), stycznym do prostej \(k\) oraz zawartym w trójkącie, którego wierzchołkami są punkt styczności okręgów \(o_1\), \(o_{n-1}\) ze sobą i punkty styczności tych okręgów do prostej \(k\). Oznaczmy promień okręgu \(o_n\) jako \(r_n\). Obliczyć wartość \(\frac{1}{\sqrt{r_{2019}}}\).
Zadanie 6
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Ile jest funkcji \(f:\mathbb{Z}\rightarrow \lbrace 0,\ldots ,36\rbrace \) spełniających następujące warunki:
- \(f(0)=1\)
- \(f(a+b)-f(a)f(b)\) jest podzielne przez \(37\) dla dowolnych liczb całkowitych \(a,b\)
- \(f(c+45d)=f(c)\) dla dowolnych liczb całkowitych \(c,d\)?
Zadanie 7
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(S_{21}\) będzie zbiorem permutacji zbioru \(21\)-elementowego, tzn. wszystkich funkcji różnowartościowych odwzorowujących zbiór \(21\)-elementowy w siebie. Zdefiniujmy funkcję \(X:S_{21}\rightarrow\mathbb{R}\) wzorem \(X(\sigma)=\max\{k\in\{1,\ldots,21\}: \sigma(i) < \sigma(k) \textrm{ dla kazdego } i < k\}\). Obliczyć część całkowitą wartości\[\frac{1}{21!}\sum_{\sigma\in S_{21}} X(\sigma).\]
Zadanie 8
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Pan Jan ma w portfelu \(x\) złotych i \(y\) groszy, gdzie \(x,y\) są liczbami naturalnymi mniejszymi od 100. Pan Jan zauważył, że gdyby miał w portfelu \(y\) złotych i \(x\) groszy i do tej kwoty dodałby 20 groszy, to miałby 6 razy więcej pieniędzy niż ma teraz. Ile pieniędzy ma pan Jan w portfelu? Wynik wyrazić w liczbie groszy.
Zadanie 9
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Znaleźć najmniejszą możliwą sumę długości krawędzi czworościanu wiedząc, że istnieje kula styczna do wszystkich jego krawędzi oraz długości pewnych czterech jego krawędzi to 7, 20, 23, 25.
Zadanie 10
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Kula porusza się ze stałą szybkością \(2\) metrów na sekundę pomiędzy zbliżającymi się do siebie ścianami, z których każda porusza się ze stałą szybkością 1 metr na sekundę. Ściany poruszają się wzdłuż pewnej wspólnej prostej wprost na siebie, natomiast kula porusza się prostopadle do nich. Kula rozpoczyna ruch przy jednej ścianie, toczy się w kierunku drugiej ściany, odbija się od niej i toczy się z powrotem do ściany pierwszej. Po odbiciu od pierwszej ściany znów porusza się w kierunku ściany drugiej i tak dalej. Ile razy kula odbije się od ścian do momentu, kiedy odległość miedzy ścianami wyniesie 35 metrów, jeśli początkowa odległość miedzy ścianami jest równa \(10270\) metrów? Zakładamy, że po każdym odbiciu kula porusza się z tą samą szybkością, a rozpoczęcie jej ruchu nie jest jej odbiciem.
Zadanie 11
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Na nieskończonej szachownicy znajdują się dwa żetony - początkowo oba są w polu \((0, 0)\). Co sekundę każdy z nich przemieszcza się losowo z równym prawdopodobieństwem o jedno pole w górę, dół, prawo lub lewo (ruchy obu żetonów są niezależne). Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że po 9 sekundach żetony znajdą się na tym samym polu. Jako odpowiedź podać licznik wyniku zapisanego jako ułamek nieskracalny o dodatnim mianowniku.
Zadanie 12
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Dane są punkty \(A(614,-118)\), \(B(1430,-278)\), \(C(-726,1262)\), \(D(-206,362)\). Izometria \(\Phi\) płaszczyzny składa się kolejno z:
- symetrii względem prostej \(BC\),
- symetrii względem prostej \(AB\),
- symetrii względem prostej \(CD\),
- symetrii względem prostej \(BC\).
Istnieje dokładnie jeden punkt stały izometrii \(\Phi\), to znaczy taki punkt \(P\), że \(\Phi(P)=P\). Wyznaczyć odciętą punktu \(P\).
Zadanie 13
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Jaś posiada 2245 parami różnych książek, z których 1005 napisane jest w języku polskim, zaś 1240 w języku angielskim. Jaś poza książkami dysponuje również dużą ilością wolnego czasu i układa wszystkie książki w rzędzie na wszelkie możliwe sposoby. Dla każdego ułożenia książek w rzędzie oblicza ile razy zdarza się, że książki napisane w różnych językach sąsiadują ze sobą (na przykład dla ciągu książek PAAPPAAPPP zdarza się to \(4\) razy). Niech \(S\) będzie średnią arytmetyczną obliczonych w ten sposób liczb. Wyznaczyć część całkowitą liczby \(S\).
Zadanie 14
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Znaleźć ostatnie 3 cyfry zapisu dziesiętnego liczby \(\lfloor(\sqrt{154}+\sqrt{145})^{68}\rfloor\).
Zadanie 15
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Znaleźć taką liczbę naturalną \(x\), że\[\underset{2400 \textrm{ razy}}{f(f(\ldots f}(x)\ldots))=29408930,\]gdzie \(f(n)\) jest \(n\)-tą liczbą naturalną niebędącą kwadratem pewnej liczby naturalnej.
