JTM I, Etap I
Każde z poniższych zadań warte jest taką samą liczbę punktów. Kolejność zadań nie jest powiązana z ich poziomem trudności.
Informacja dotycząca Zadania 15.
Pytanie: "każda para obrazków znajduje się na dokładnie jednej karcie" sugeruje, że w grze jest tylko jedna karta?
Odpowiedź: Fakt, że dla każdej pary jest jedna dobra karta nie oznacza, że jest jedna dobra karta dla każdej pary.
Zadanie 1
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Podaj cztery ostatnie cyfry zapisu dziesiętnego liczby \(1945^{1410}\).
Zadanie 2
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Pewna rzeka płynie z zachodu na wschód. Dwa domki stoją po przeciwnych stronach tej rzeki. Odległości tych domków od rzeki wynoszą odpowiednio \(120\) i \(240\) metrów. Szerokość rzeki wynosi \(7\) metrów. Jeden domek znajduje się o \(546\) metrów bardziej na wschód niż drugi. Mieszkańcy domków nie umieją pływać. Dlatego planują zbudować biegnący prostopadle do biegu rzeki most w ten sposób, aby przejść z jednego domku do drugiego najkrótszą możliwą drogę. Ile metrów liczy ta droga?
Zadanie 3
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Ile wynosi liczba takich rozwiązań równania \(\frac{60}{x} + \frac{126}{y} = 1\), że obydwie liczby \(x\) i \(y\) są całkowite i dodatnie?
Zadanie 4
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(f(x)=\frac{x-1}{x}\). Oblicz odwrotność liczby
\[\underbrace{f(f(...f}_{2018\textrm{ razy}}(-1410)...)).\]
Zadanie 5
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Punkt \(P\) leży we wnętrzu trójkąta o bokach długości \(2\), \(4\), \(5\). Jaki jest maksymalny iloczyn odległości punktu \(P\) od boków tego trójkąta? W formularzu zapisz trzy pierwsze cyfry znaczące wyniku (np. jeśli wynikiem jest 1,23456 - zapisz 123, a jeżeli wynikiem jest 0,003452 - zapisz 345).
Zadanie 6
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Rozważmy ciąg liczb naturalnych niebędących sześcianami, tj. ciąg \(2,3,4,5,6,7,9,10,11,12,13,...\). Jaki jest \(3050\)-ty wyraz tego ciągu?
Zadanie 7
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Siedem worków ponumerowanych kolejno od lewej od \(1\) do \(7\) stoi w rzędzie. W każdym z nich mieści się dokładnie jeden z metali: cyna, miedź, ołów, platyna, srebro, złoto, żelazo. Wiadomo, że:
- Worek ze złotem nie jest obok worka ze srebrem.
- W bezpośrednim sąsiedztwie worka z platyną znajdują się worki z ołowiem i żelazem.
- Worek z miedzią ma mniejszy numer niż worek z cyną.
- Suma numerów na workach z platyną i złotem jest taka sama, jak suma numerów na workach z cyną i ołowiem.
- Numery worków z miedzią i srebrem nie są liczbami pierwszymi.
Podaj sumę numeru worka z cyną i numeru worka z ołowiem.
Zadanie 8
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Wielomian \(100x^{200} + 2x^{149} + 12x + 8\) został podzielony z resztą przez wielomian \(x^3 - x\). Oblicz współczynnik przy \(x^2\) reszty z tego dzielenia.
Zadanie 9
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech funkcja \(f:\mathbb{R}\setminus\{-\frac{d}{c}\}\rightarrow\mathbb{R}\) będzie zadana wzorem \(f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}\), gdzie \(ad-bc\neq 0\). Załóżmy, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\notin \{-\frac{d}{c}, f^{-1}(-\frac{d}{c})\}\) zachodzi \(f(f(x))=x\) oraz \(f(300)=300\) i \(f(2018)=2018\). W zbiorze wartości funkcji \(f\) brakuje dokładnie jednej liczby całkowitej. Wskaż ją.
Zadanie 10
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
W chwili \(0\) pan Kowalski, poruszający się po pewnej uliczce z szybkością \(30\) m/min, szedł w kierunku prostopadłego skrzyżowania z inną uliczką i znajdował się w odległości \(11700\) metrów od niego. Po drugiej uliczce z tego skrzyżowania szedł pan Nowak z szybkością \(45\) m/min i w tamtym momencie znajdował się na skrzyżowaniu. Po ilu minutach od tej chwili panowie będą znajdować się najbliżej siebie?
Zadanie 11
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Ile jest takich liczb naturalnych \(n\in\{1,...,2018\}\), że cyfrą jedności liczby \(n^n\) w zapisie dziesiętnym jest \(3\)?
Zadanie 12
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(S\) będzie sumą współczynników \(x,y,z,w\) w przedstawieniu liczby \(\frac{1}{2+3\sqrt{7}-2\sqrt{3}+\sqrt{21}}\) w postaci \(x+y\sqrt{7}+z\sqrt{3}+w\sqrt{21}\), gdzie \(x,y,z,w\) są liczbami wymiernymi. Podaj sumę licznika i mianownika liczby \(S\) wyrażonej w postaci ułamka nieskracalnego o dodatnim mianowniku.
Zadanie 13
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Dane jest \(200\) pudełek. Chcemy zakupić pewną liczbę kulek, a potem rozłożyć je do pudełek w taki sposób, ze dla \(i\)-tego pudełka będzie zachodzić:
\[200xa_i\leq na_i-n,\]
gdzie \(n\) to łączna liczba kulek, \(a_i\) to liczba kulek w \(i\)-tym pudełku, natomiast \(x\) to pewna liczba spełniająca warunek \(4,75 < x < 5\). Znajdź minimalne \(n\) dla którego jest to możliwe.
Zadanie 14
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Okręgi \(o_1\) i \(o_2\) są styczne zewnętrznie i mają promienie odpowiednio \(r_1=\frac{1}{4}\) i \(r_2=\frac{1}{25}\). Niech \(k\) będzie wspólną styczną tych okręgów. Niech \(o_3\) będzie okręgiem stycznym zewnętrznie z okręgami \(o_1\) i \(o_2\) oraz stycznym do prostej \(k\) (ograniczonym przez okręgi \(o_1, o_2\) i prostą \(k\)). Ogólniej, dla każdego \(n\geq 3\), niech \(o_n\) będzie okręgiem stycznym zewnętrznie z okręgami \(o_{n-2}\) i \(o_{n-1}\) oraz stycznym do prostej \(k\) (ograniczonym przez okręgi \(o_{n-2}, o_{n-1}\) i prostą \(k\)). Oznaczmy promień okręgu \(o_n\) jako \(r_n\). Oblicz wartość \(\frac{1}{\sqrt{r_{15}}}\). W formularzu zapisz część całkowitą tej liczby.
Zadanie 15
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Jaś obserwuje znajomych grających w Grę Z Obrazkami. Grają skończoną liczbą kart, na każdej z kart jest skończenie wiele różnych obrazków z ustalonej puli. Ich zadaniem jest jak najszybsze wskazanie wspólnego obrazka na \(2\) różnych kartach. Obserwując dokładnie (oraz dość długo) Grę Z Obrazkami Jaś zauważył, że każde \(2\) karty mają dokładnie jeden wspólny obrazek, a każda para obrazków znajduje się na dokładnie jednej karcie. Jaś potrafi też wskazać takie \(4\) obrazki, że żadne \(3\) z nich nie znajdują się na jednej karcie. Gdy znajomi Jasia skończyli grę wziął on jedną z kart i policzył, że znajduje się na niej \(37^3+1\) obrazków. Ile jest kart w Grze Z Obrazkami, jeżeli na każdej karcie jest tyle samo obrazków?
Zadanie 16
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Dany jest trójkąt \(ABC\). Punkty \(D\), \(E\), \(F\) i \(P\) są takie, że \(D\) leży na prostej \(BC\), \(E\) leży na prostej \(AC\), \(F\) leży na prostej \(AB\) oraz proste \(DP\), \(EP\), \(FP\) są prostopadłe do prostych \(BC\), \(CA\), \(AB\) odpowiednio. Trójkąty równoboczne zbudowane na odcinkach \(AE\), \(EC\), \(CD\), \(DB\), \(BF\) mają pola \(16\), \(4\), \(18\), \(7\), \(10\) odpowiednio. Oblicz pole trójkąta równobocznego zbudowanego na odcinku \(AF\).
Zadanie 17
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(x=\frac{2\pi}{1001}\) oraz
\[A=\cos x\cdot\cos 2x\cdot\cos 3x\cdot ...\cdot\cos 1000x.\]
Podaj trzy ostatnie cyfry zapisu dziesiętnego liczby \(\frac{1}{|A|}\).
Zadanie 18
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
W rzędzie znajduje się \(2^{4035}\) niezapalonych świeczek ponumerowanych kolejno liczbami \(1, 2, ..., 2^{4035}\). Małgosia rozpoczyna spacer wzdłuż rzędu świeczek. Zapala świeczkę o numerze \(1\), a następnie na zmianę nie zapala i zapala świeczkę, obok której właśnie przechodzi (czyli nie zapala świeczek o numerze \(2\) i \(4\), ale zapala świeczki o numerach \(3\), \(5\) i tak dalej). Kiedy dochodzi do końca rzędu zawraca, zaczynając spacer w drugą stronę. Ponownie zapala świeczki na zmianę, rozpoczynając od zapalenia pierwszej napotkanej niezapalonej świeczki (świeczki, które zostały zapalone wcześniej pozostają już zapalone). Powtarza tą wędrówkę wielokrotnie w obie strony do momentu, w którym wszystkie świeczki są zapalone. Niech \(A\) oznacza numer ostatniej świeczki, która została zapalona. Wyznacz liczbę dodatnich dzielników liczby \(3A-2\).
Zadanie 19
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Znajdź najmniejszą liczbę naturalną \(n\) o tej własności, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich \(a\), \(b\), \(c\), jeśli \(a + b + c \leq 1\), to
\[4a^{1/3} + 81b^{1/3} + 8c^{1/3} \leq n.\]
Zadanie 20
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Dwóch graczy gra w następującą grę. Mają przed sobą dwa stosy żetonów i wykonują ruchy na przemian. Ruch polega na zabraniu dowolnej liczby żetonów z jednego stosu, lub zabraniu żetonów z obu stosów, przy czym iloraz liczb zabranych żetonów musi być wówczas większy od \(\frac{1}{2}\) i mniejszy od \(2\). Wygrywa ten, kto weźmie ostatnie żetony. Na początku na jednym stosie jest \(105\) żetonów. Ile jest na drugim, jeśli to drugi gracz ma strategię wygrywającą?
