JTM IV, Etap III
Zadanie 1
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
(\(1+2^{-10}\) punktu) Na parkiecie stoi w rzędzie \(22\) ponumerowanych baletnic. Ich numery są uporządkowane w kolejności rosnącej: \(1,2,3,4,\ldots,19,20,21,22\). Baletnice wykonują taniec polegający na tym, że w jednym ruchu pewne dwie sąsiadujące ze sobą baletnice zamieniają się miejscami. Jaka jest najmniejsza liczba ruchów w tym tańcu, po których numery baletnic będą ustawione w kolejności malejącej: \(22,21,20,19,\ldots,4,3,2,1\)?
Zadanie 2
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
(\(1+2^{-9}\) punktu) Funkcja \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) spełnia równanie \(f(x-25)=6f(-x)-7x\) dla każdego \(x\in\mathbb{R}\). Obliczyć \(f(2)\).
Zadanie 3
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
(\(1+2^{-8}\) punktu) Niech \(S\) będzie sumą wszystkich liczb postaci \(\frac{a}{b}\), gdzie \(a\) i \(b\) są względnie pierwszymi dodatnimi dzielnikami liczby \(2^{25}3^{35}5^{45}\). Niech \(S=\frac{n}{m}\) będzie zapisem \(S\) w postaci ułamka nieskracalnego. Wyznaczyć największą taką liczbę całkowitą \(r\), że \(2^r|m\).
Zadanie 4
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
(\(1+2^{-7}\) punktu) Podać sumę rzędnych punktów o obu współrzędnych wymiernych i należących do wykresu funkcji \(y=(45+10\sqrt{19})x^2+(8+19\sqrt{19})x+(6+7\sqrt{19})\).
Zadanie 5
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
(\(1+2^{-6}\) punktu) Odwrotką dodatniej liczby całkowitej \(n\), która nie kończy się zerem, nazywamy liczbę powstałą przez odwrócenie cyfr w zapisie dziesiętnym \(n\), np. odwrotką liczby \(1234\) jest liczba \(4321\). Ile różnych liczb całkowitych można przedstawić jako różnicę dwóch liczb pięciocyfrowych, z których jedna jest odwrotką drugiej?
Zadanie 6
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
(\(1+2^{-5}\) punktu) Dany jest trapez \(A_1B_1C_1D_1\) o długościach podstaw \(|A_1B_1|=48\), \(|C_1D_1|=16\). Mając dany trapez \(A_nB_nC_nD_n\), wyznaczamy trapez \(A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}D_{n+1}\) w następujący sposób. Przez punkt przecięcia przekątnych prowadzimy prostą równoległą do podstaw i bierzemy jej punkty przecięcia z ramionami, poza tym bierzemy środki ramion \(D_nA_n\) i \(B_nC_n\). Otrzymane dwa punkty na ramieniu \(A_nD_n\) oznaczamy \(A_{n+1}\), \(D_{n+1}\) w taki sposób, aby punkty \(A_n, A_{n+1}, D_{n+1}, D_n\) w tej kolejności leżały na jednej prostej. Tak samo otrzymane punkty na ramieniu \(B_nC_n\) oznaczamy \(B_{n+1}\), \(C_{n+1}\) w taki sposób, aby punkty \(B_n, B_{n+1}, C_{n+1}, C_n\) w tej kolejności leżały na jednej prostej. Niech \(k\) będzie najmniejszą taką liczbą całkowitą dodatnią, że w przedziale liczbowym \([|C_kD_k|, |A_kB_k|]\) jest tylko jedna liczba całkowita \(m\). Ile wynosi \(m\)?
Zadanie 7
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
(\(1+2^{-4}\) punktu) Liczby \(2^{109}\) i \(5^{109}\) zapisano w dziesiętnym systemie pozycyjnym jedna po drugiej, tworząc w ten sposób pewną liczbę \(n\). Podać długość zapisu dziesiętnego liczby \(n\) wyrażoną w liczbie cyfr.
Zadanie 8
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
(\(1+2^{-3}\) punktu) Niech \(f(n,k)\) będzie liczbą wszystkich ciągów \((a_1,\ldots,a_n)\) liczb całkowitych spełniających nierówności \(0 < a_1\leq a_2\leq \ldots\leq a_n\leq k\). Ile jest takich par (uporządkowanych) liczb całkowitych \((n,k)\), że \(20 < n < 40\), \(15 < k < 45\) oraz \(f(n,k)=f(k,n)\)?
Zadanie 9
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
(\(1+2^{-2}\) punktu) Rozważmy czworościan foremny \(ABCD\) o boku \(123\), którego ściany są wykonane z nieskończenie cienkiego szkła. Punkt \(P\) leży na krawędzi \(AB\) tak, że \(AP=2\cdot PB\). W punkcie \(P\) (wewnątrz bryły) znajduje się nieskończenie inteligentna mrówka, której zadaniem jest dostanie się najkrótszą drogą do krawędzi \(CD\). Rozmiary mrówki pomijamy. Niech \(s_1\) i \(s_2\) to długości dróg pokonanych przez mrówkę w dwóch przypadkach:
- bryła wypełniona powietrzem (mrówka porusza się po ściankach bryły);
- bryła wypełniona wodą (mrówka potrafi pływać w dowolnym kierunku).
Zadanie 10
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
(\(1+2^{-1}\) punktu) Na tablicy są napisane pewne liczby całkowite dodatnie. W każdym kroku wybieramy trzy liczby \(x, y, z\) z tablicy (wolno wybrać tę samą liczbę kilka razy) i dopisujemy liczbę \(xyz + xy + yz + zx + x + y + z\), jeśli jej nadal nie było na tablicy (liczb \(x,y,z\) nie zmazujemy). Ile maksymalnie liczb mniejszych od \(2021\) mogło się pojawić na tablicy, jeśli na początku znajdowały się na niej tylko liczby \(3,4,5\)?
Zadanie 11
(1 pkt) Obwiednia wypukła (''conv'') zbioru złożonego z dwóch prostych w przestrzeni \(\mathbb{R}^3\) może:(1) być równa pewnej płaszczyźnie (2) być równa całej przestrzeni (4) mieć nieskończenie wiele punktów ekstremalnych
- Podać sumę punktów (w nawiasach) przy tych stwierdzeniach wypisanych wyżej, które są prawdziwe.
Zadanie 12
(0.5 pkt) Podać liczbę boków wielokąta \(A+B\), gdzie \(A\) jest sześciokątem foremnym, a \(B\) jest trójkątem równobocznym o jednym z boków równoległym do pewnego boku \(A\), boki \(A\) są dwa razy krótsze niż boki \(B\).
Zadanie 13
(1.5 pkt) Ile punktów ekstremalnych ma zbiór funkcji\( \{f: [-1,1]\to \mathbb{R}, f \text{ funkcja liniowa}: |f(x)|\leq |x|+2 \text{ dla dowolnego }x\in [0,1]\}\)w przestrzeni funkcji \(\{f: [-1,1]\to\mathbb{R}\}\) z działaniami "punktowymi"? UWAGA: jeśli odpowiedzią jest \(\infty\), to wpisz 100.
Zadanie 14
(1 pkt) Suma Minkowskiego trzech odcinków o równej długości w przestrzeni \(\mathbb{R}^3\) może być:
- (1) rombem (w pewnej płaszczyźnie)
- (2) sześciokątem (w pewnej płaszczyźnie)
- (4) sześcianem
- (8) czworościanem
Zadanie 15
(1 pkt) Ile punktów ekstremalnych ma zbiór ciagów \( \{(x_1,x_2,x_3,\dots)\in\mathbb{R}^\mathbb{N}: |x_n|\leq 1 \ \forall n\in\mathbb{N} \}\subset\mathbb{R}^\mathbb{N} \text{ ?}\) UWAGA: jeśli odpowiedzią jest \(\infty\), to wpisz 100.
Zadanie 16
(1.5 pkt) \(N\) jest największą możliwą liczbą wierzchołków wielościanu, który jest sumą Minkowskiego dwóch czworościanów foremnych w przestrzeni \(\mathbb{R}^3\), \(M\) jest najmniejszą możliwą liczbą wierzchołków wielościanu, który jest sumą Minkowskiego dwóch czworościanów foremnych w przestrzeni \(\mathbb{R}^3\). Podać \(N-M\).
Zadanie 17
(0.5 pkt) Jaka jest najmniejsza liczba punktów zbioru w przestrzeni \(\mathbb{R}^3\), którego obwiednia wypukła (''conv'') zawiera sześcian \(\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: \ |x|\leq 1, |y|\leq 1, |z|\leq 1\}\) ?
Zadanie 18
(0.5 pkt) Ile punktów ekstremalnych ma obwiednia wypukła (''conv'') podzbioru przestrzeni \(\mathbb{R}^3\) złożonego z płaszczyzny oraz punktu leżącego poza tą płaszczyzną? UWAGA: jeśli odpowiedzią jest \(\infty\), to wpisz 100.
Zadanie 19
(1.5 pkt) W \(\mathbb{R}^N\), \(N\in\mathbb{N}\), rozważamy zbiór \(A_N\), który jest sumą Minkowskiego \(N\) odcinków \(\overline{OP_i}\), \(i=1,\dots,N\), gdzie \(O=(0,\dots,0)\) (początek układu współrzędnych), a każdy wektor \(P_i\) ma jedynkę na \(i\)-tej współrzędnej oraz zera na pozostałych współrzędnych: tzn. \(P_1=(1,0,0\dots,0)\), \(P_2=(0,1,0,\dots,0)\), \(\dots\), \(P_N=(0,0,\dots,1)\). Jaka jest najmniejsza liczba \(N\), dla której liczba punktów ekstremalnych zbioru \(A_N\setminus \{(x_1,\dots,x_N)\in\mathbb{R}^N: |x_1|+\dots+|x_N|<2\}\) jest większa niż 30 ?