JTM VIII, Etap IIA

Ile jest liczb zespolonych nierzeczywistych \(z\) takich, że \(z^6=1\)?

Rozważmy obszar \(D=\{z\in\mathbb{C}:\: \textrm{Re } z \geqslant -1,\: \textrm{Im } z \geqslant -2, \: \textrm{Re } z + \textrm{Im } z \leqslant 1\}\). Podaj sumę numerów wszystkich prawdziwych zdań:

• [1:] \(D\) jest trójkątem.
• [2:] \(D\) jest prostokątem.
• [4:] \(D\) zawiera liczbę \(i\).[8:] \(D\) nie zawiera liczb rzeczywistych.

Oblicz: \quad \(|(2-i)(-3+i) -(-1+2i)|\).

Przez jaką liczbę muszę przemnożyć liczbę zespoloną \(z\), jeśli chcę ją obrócić wokół zera zgodnie z ruchem wskazówek zegara o kąt \(90^\circ\)? Podaj sumę numerów wszystkich poprawnych odpowiedzi:

• [1:] \(i\)
• [2:] \(-i\)
• [4:] \(i^2\)
• [8:] \(i^3\)

Jakie jest pole obszaru \(\{z\in\mathbb{C}:\: |z|<\sqrt{\frac{8}{\pi}},\: \textrm{Re } z\leqslant 0, \: \textrm{Im } z \geqslant 0\}\)?

Która z liczb zespolonych jest pierwiastkiem stopnia całkowitego z \(i\)? Podaj sumę numerów wszystkich poprawnych odpowiedzi:

• [1:] \(\cos \frac{\pi}{4}+ i \sin\frac{\pi}{4}\)
• [2:] \(\cos \frac{\pi}{3}+ i \sin\frac{\pi}{3}\)

[4:] \(\cos \frac{3\pi}{4}+ i \sin\frac{3\pi}{4}\)

[8:] \(\cos \pi+ i \sin\pi\)

Ile wynosi \quad \(\textrm{Arg } \left(1-i\sqrt{3}\right)^{2025}\)? Przedstaw jako liczbę postaci \(\frac{m}{n}\pi\), gdzie \(m\) i \(n\) są względnie pierwsze i podaj \(m+n\).

Rozwiązaniami równania \quad \(z^2-2z+5=0\) \quad są \(z_1\) i \(z_2\). Podaj sumę numerów wszystkich prawdziwych zdań:

• [1:] \(\textrm{Re } z_1 = 2\) lub \(\textrm{Re } z_2 = 2\).
• [2:] \(\textrm{Im } z_1 = 2\) lub \(\textrm{Im } z_2 = 2\).
• [3:] \(z_1 + z_2 = 2\).

Podaj sumę numerów wszystkich zdań prawdziwych dla dowolnego \(z\neq 0\):

• [1:] \(z + \bar{z} \in \mathbb{R}\).
• [2:] \(z- \bar{z} \in \mathbb{R}\).
• [4:] \(z\cdot\bar{z} \in \mathbb{R}\).
• [8:] \(\frac{\bar{z}}{z}\) jest liczbą całkowitą.