JTM VIII, Etap II

(\(1+2^{-10}\) punktu) Trzy kule o promieniach \(64, 169, 625\) są parami styczne zewnętrznie do siebie oraz styczne do płaszczyzny \(\pi\). Punkty styczności tych kul do płaszczyzny \(\pi\) oznaczmy przez \(A, B, C\). Podać część całkowitą obwodu trójkąta \(ABC\).

(\(1+2^{-9}\) punktu) Dla liczby całkowitej \(n\) o niezerowej cyfrze jedności definiujemy jej odwrotkę jako liczbę powstałą przez odwrócenie cyfr w zapisie dziesiętnym \(n\), np. odwrotką liczby \(1234\) jest liczba \(4321\). Niech \(n\) będzie liczbą pięciocyfrową, której odwrotka jest jej czterokrotnością. Podać \(\lfloor n/10\rfloor\).

(\(1+2^{-8}\) punktu) Podać liczbę ścieżek prowadzących z punktu \((0,0)\) w kartezjańskim układzie współrzędnych do punktu \((13,8)\), gdzie w każdym kroku możemy się poruszać o wektor \((1,0)\) lub \((0,1)\), przy czym nie możemy poruszyć się o wektor \((0,1)\) dwa lub więcej razy z rzędu.

(\(1+2^{-7}\) punktu) Niech \(ABCDEF\) będzie ośmiościanem foremnym o krawędzi długości \(2531\), w którym wierzchołki \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) w tej kolejności są wierzchołkami kwadratu. Podać część całkowitą odległości wierzchołka \(F\) od płaszczyzny \(ABC\).

(\(1+2^{-6}\) punktu) Niech \(f(x,y)=\frac{x+y}{2}\), \(g(x,y)=\sqrt{xy}\) i \(h(x,y)=\frac{2xy}{x+y}\) dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x,y\). Niech \(S\) będzie takim zbiorem par \((a,b)\) dodatnich liczb całkowitych, że \(a\neq b\) i wszystkie wartości \(f(a,b)\), \(g(a,b)\), \(h(a,b)\) są liczbami całkowitymi. Podać najmniejszą wartość funkcji \(f\) przyjmowaną na zbiorze \(S\).

(\(1+2^{-5}\) punktu) Boki trójkąta \(ABC\) mają długości \(|AB|=13\), \(|AC|=14\), \(|BC|=15\). Pewien okrąg jest styczny do boków \(AB\) i \(AC\), a jego środek leży na boku \(BC\). Niech \(r\) będzie długością promienia tego okręgu. Podać wartość \(\lfloor 1000r\rfloor\).

(\(1+2^{-4}\) punktu) Niech \(P(x)=a_nx^n+\ldots+a_2x^2+a_1x^1+a_0\) będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych dodatnich. Wiedząc, że \(P(1)=94\) oraz \(P(101)=483994\), podać współczynnik \(a_2\) wielomianu \(P\).

(\(1+2^{-3}\) punktu) Podać część całkowitą sumy\[1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{660909}}.\]

(\(1+2^{-2}\) punktu) Liczby \(1, 2, \ldots, 2025\) są rozmieszczone na obwodzie okręgu w pewnej kolejności. Liczby \(i\) i \(j\), gdzie \(i \neq j\) oraz \(i, j \in \{1, 2, \ldots, 2025\}\), są złojasiewiczone, jeśli:

• na każdym z łuków łączących \(i\) i \(j\) wzdłuż okręgu znajduje się pewna liczba ze zbioru \(\{1, 2, \ldots, 2025\}\backslash\{i,j\}\),
• na jednym lub obu łukach łączących \(i\) i \(j\) wzdłuż okręgu wszystkie liczby pomiędzy nimi są od nich większe.

Jaka jest najmniejsza możliwa liczba nieuporządkowanych par liczb złojasiewiczonych?

(\(1+2^{-1}\) punktu) W \(23\)-kącie wypukłym narysowano wszystkie przekątne. Okazało się, że jedynymi punktami, które należą do \(3\) lub więcej przekątnych, są ich wspólne końce. Na ile obszarów \(23\)-kąt został podzielony przez te przekątne?