JTM IV, Etap II
Zadanie 1
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Podać taką liczbę całkowitą nieujemną \(k\), że \(2020^k\) dzieli, a \(2020^{k+1}\) nie dzieli liczby \(1450101!\).
Zadanie 2
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Obszar Kanciastej Krainy opisuje się nierównościami \(-32\leq y-4\leq 32-2|x+2y-10|\), gdzie punkt o współrzędnych \((x,y)\) to punkt odległy o \(x\) kilometrów na wschód od pewnego punktu odniesienia (w przypadku wartości \(x\) ujemnej, jest to punkt odległy o \(|x|\) kilometrów na zachód) i \(y\) kilometrów na północ (lub \(|y|\) kilometrów na południe w przypadku \(y\) ujemnego) od tego punktu odniesienia. Wysokość bezwzględna punktu Kanciastej Krainy o współrzędnych \((x,y)\) wyrażona w metrach nad poziomem morza przedstawia się wzorem \(h=2||x+2y-10|+|y-4|-16|-14-|x+2y-10|-|y-4|\). Obliczyć pole zbioru współrzędnych \((x,y)\) punktów Kanciastej Krainy, które leżą w depresji (czyli pod poziomem morza).
Zadanie 3
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(v_1\), \(v_2\), \(v_3\), \(\ldots\), \(v_{21}\) będą wierzchołkami \(21\)-kąta foremnego. Ile jest trzyelementowych podzbiorów \(\{i,j,k\}\) zbioru \(\{1,2,3,\ldots ,21\}\), dla których \(v_i\), \(v_j\), \(v_k\) są wierzchołkami trójkąta rozwartokątnego?
Zadanie 4
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Sfery \(s_1\), \(s_2\) i \(s_3\) mają promienie długości \(420\) dwie różne sfery \(s_4\) i \(s_5\) mają zaś promienie długości \(65\). Sfery \(s_1, s_2, s_3, s_4, s_5\) są parami styczne zewnętrznie oprócz pary \(s_4\), \(s_5\). Ile wynosi część całkowita odległości środków sfer \(s_4\), \(s_5\) od siebie?
Zadanie 5
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Obliczyć wartość wyrażenia \(\sqrt[3]{720+\sqrt[3]{720+\sqrt[3]{720+\ldots}}}\).
Zadanie 6
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Dwóch graczy gra w następującą grę. Na stole leżą kamienie żółte i niebieskie. Gracze naprzemiennie zabierają ze stołu kamienie, przy czym każdy gracz w swojej kolejce może wykonać jeden z trzech ruchów:
- wziąć jeden kamień żółty;
- wziąć jeden kamień niebieski;
- wziąć dwa kamienie niebieskie
Gracz, po którego ruchu stół zostanie pusty, wygrywa. Ile jest takich par uporządkowanych \((a,b)\) liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówności \(a\leq 18\), \(b\leq 16\), że pierwszy gracz ma strategię wygrywającą, jeśli na początku rozgrywki na stole leży \(a\) kamieni żółtych i \(b\) kamieni niebieskich?
Zadanie 7
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(a,b,c,d\) będą takimi liczbami całkowitymi dodatnimi, że \(a+b+c+d=41\). Jaka jest największa możliwa wartość wyrażenia \(ab+bc+cd\)?
Zadanie 8
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Dane są liczby \(a, b, c, d\) w przedziale \((0, \pi)\), które spełniają równości\[\sin a + 8 \sin b = 9 \sin c + 12 \sin d,\]\[\cos a + 8 \cos b = 9\cos c + 12 \cos d.\]Zakładając, że \(\cos(b-c) \neq 0\), wyznaczyć wartość wyrażenia \(\frac{\cos(a-d)}{\cos(b-c)}.\)
Zadanie 9
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Według zasad pewnego turnieju każdy gracz powinien zagrać mecz przeciwko każdemu innemu graczowi dokładnie raz i każdego dnia każdy gracz rozgrywa dokładnie jeden mecz. Niestety, po \(k\) dniach \(4\) graczy wycofało się z turnieju. Pomimo ich odejścia mecze odbywały się zgodnie z harmonogramem meczów ustalonym przed turniejem. W szczególności uczestnik, który został w turnieju i miał danego dnia rozegrać mecz z uczestnikiem, który zrezygnował, w tym dniu nie rozgrywa meczu. Okazało się na końcu turnieju, że rozegrano dokładnie \(1004\) meczów. Ile wynosi suma wszystkich możliwych wartości \(k\)?
Zadanie 10
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Wyznaczyć resztę z dzielenia liczby \(\lfloor(\sqrt{10}+\sqrt{12})^{64}\rfloor\) przez \(1000\).
