JTM X, Etap I
Zadanie 1
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Dana jest klepsydra w kształcie dwóch przystających stożków o wspólnym wierzchołku i równoległych rozłącznych podstawach. Stożki te stanowią górną i dolną komorę klepsydry, a ich wysokości mają długość \(17496\) każda. Na początku cały piasek jest umieszczony w górnej komorze klepsydry i wypełnia ją w całości. Następnie przesypuje się on stałym, ciągłym tempem do dolnej komory. W pewnym momencie piasek w dolnej komorze klepsydry tworzy stożek o podstawie pokrywającej się z podstawą dolnej komory i wysokości \(10905\), podczas gdy tafla piasku w górnej komorze jest kołem równoległym do podstaw komór, zaś wysokość piasku w górnej komorze to \(h_g\). Obliczyć \(h_g\).
Zadanie 2
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Wiemy, że dla pewnej liczby rzeczywistej \(x\) zachodzi równość\[x^4+246x^3+15139x^2+1230x+34=9.\]Policzyć\[6x^3+742x^2+522x+24.\]
Zadanie 3
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Dane mamy na płaszczyźnie dwa przystające i niepokrywające się prostokąty \(ABCD\) i \(BEDF\) o bokach długości \(4\) i \(8\). Obliczyć pole części wspólnej tych prostokątów.
Zadanie 4
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Funkcja \(f\) spełnia równanie\[f\left(\frac{x+1}{1-3x}\right)=x-f(x)\]dla każdej liczby \(x\) należącej do dziedziny funkcji \(f\). Obliczyć \(\lfloor 10000f(21)\rfloor\).
Zadanie 5
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
W trójkącie równobocznym \(ABC\) zawierają się koła \(o_0, o_1, \ldots , o_{74}\) o promieniu \(10\) każdy. Koła \(o_0, o_1, \ldots , o_{25}\) są styczne do boku \(AB\). Koła \(o_{25}, o_{26}, \ldots , o_{50}\) są styczne do boku \(BC\). Koła \(o_{50}, o_{51}, \ldots , o_{74}, o_0\) są styczne do boku \(AC\). Koło \(o_0\) jest styczne zewnętrznie z kołami \(o_{74}\) i \(o_1\). Dla każdego \(j\in\{1,2,\ldots ,73\}\) koło \(o_j\) jest styczne zewnętrznie z kołami \(o_{j-1}\) i \(o_{j+1}\). Koło \(o_{74}\) jest styczne zewnętrznie z kołami \(o_{73}\) i \(o_0\). Niech \(R\) będzie promieniem największego koła zawartego w trójkącie \(ABC\), którego wnętrze jest rozłączne z wnętrzami kół \(o_j\), \(j\in\{0,1,\ldots ,74\}\). Podać \(\lfloor 10000R\rfloor\).
Zadanie 6
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Podać liczbę punktów \((x,y)\) na okręgu o równaniu\[x^2+y^2=1,\]które mają obydwie współrzędne wymierne dodatnie o ułamkach nieskracalnych z mianownikami mniejszymi lub równymi \(65\).
Zadanie 7
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Kapral Edyta przewodzi grupie \(265\) żołnierzy. Wydaje komendę, którą jest pewna liczba \(d\in\{2,3,\ldots ,10\}\), a wtedy zołnierze ustawiają się w rzędy po \(d\) osób. Ci żołnierze, którzy nie mogą utworzyć pełnego rzędu, odchodzą do baraków. Pozostałym żołnierzom Edyta wydaje kolejną komendę. Edyta wydaje komendy do momentu, gdy wszyscy żołnierze pójdą do baraków. Jaka jest najmniejsza możliwa liczba komend, po których wszyscy żołnierze odejdą do baraków?
Zadanie 8
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Zygmunt i Władysław znajdują się w tym samym punkcie u podnóża góry, a August u jej szczytu. W jednym momencie Zygmunt i Władysław ruszają w stronę Augusta, a August w stronę Zygmunta. Wszyscy poruszają się cały czas wzdłuż tego samego odcinka. Początkowa odległość między Zygmuntem i Władysławem a Augustem wynosi \(4\) metrów. Za każdym razem, gdy Władysław spotka Augusta, zawraca i idzie w stronę Zygmunta oraz za każdym razem, gdy Władysław spotka Zygmunta, zawraca i idzie w stronę Augusta. Zygmunt porusza się z prędkością \(7\) metrów na minutę, August z prędkością \(7\) metrów na minutę, Władysław pod górkę idzie z prędkością \(8\) metrów na minutę, natomiast z górki z prędkością \(9\) metrów na minutę. Niech \(S\) będzie drogą wyrażoną w metrach, jaką pokona Władysław do czasu aż wszyscy trzej się spotkają w jednym miejscu. Podać \(\lfloor 10000S\rfloor\).
Zadanie 9
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Przy okrągłym stole siedzi łącznie \(n\) rycerzy i łotrów, przy czym siedzi co najmniej jeden rycerz, zaś liczba łotrów może wynosić \(0\). Rycerze zawsze mówią prawdę, a łotrowie zawsze kłamią. Wszyscy wiedzą, kto jest rycerzem, a kto łotrem. W pewnej chwili wszystkie osoby poza jedną powiedziały, że siedzą między łotrem a rycerzem. Dla ilu \(n\in\{3, 4, 5, \ldots , 265\}\) jest możliwe, aby milczał jeden z łotrów?
Zadanie 10
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Dla każdej dodatniej liczby całkowitej \(n\) definujemy \(a_n\) jako liczbę wszystkich ścieżek w dwuwymiarowym układzie współrzędnych prowadzących z punktu \((0,0)\) do punktu \((n,n)\), w których w każdym koku przesuwamy się o wektor \((1,0)\) lub \((0,1)\) i których żaden punkt nie leży poniżej prostej zadanej równaniem \(y=x\). Obliczyć \(a_{11}\).
