JTM VIII, Etap I
Punktacja
Zadanie n jest warte \( 0.5+2^{n-15} \) punktów. Np. poprawna odpowiedź do zadania nr. 12 warta jest 0.625 punkta.
Zadanie 1
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(c\in\{1,2,\ldots ,9\}\). Powiemy, że nieujemna liczba całkowita jest \(c\)-szczęśliwa, jeśli w jej zapisie dziesiętnym cyfra \(c\) pojawia się co najmniej raz. Ile jest nieujemnych liczb całkowitych mniejszych lub równych 654321, które nie są 4-szczęśliwe?
Zadanie 2
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Janek napisał na tablicy 63 kolejnych liczb całkowitych w kolejności rosnącej. Okazuje się, że suma 11 ostatnich napisanych liczb jest 5 razy większa od sumy 11 początkowych liczb. Jaka jest część całkowita z mediany liczb napisanych na tablicy?
Zadanie 3
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
(korekta) Dany jest taki ośmiokąt wypukły \(ABCDEFGH\), że czworokąty \(ABEF\) oraz \(CDGH\) są prostokątami oraz proste \(AF\) i \(CH\) są prostopadłe. Wiadomo, że \(|AB| = 13\), \(|AF| = 17\), \(|CD| = 15\) oraz \(|CH| = 23\). Jakie pole ma czworokąt \(ACEG\)?
Zadanie 4
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach \(AB = 17\), \(BC = 13\) i \(CA = 15\). Niech \(X\), \(Y\) i \(Z\) będą odpowiednio spodkami dwusiecznych kątów \(CAB\), \(ABC\) oraz \(BCA\). Podać część całkowitą z wartości \(1000P\), gdzie \(P\) jest polem trójkąta \(XYZ\).
Zadanie 5
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Wyznaczyć liczbę wszystkich czwórek uporządkowanych \((a,b,c,d)\) dodatnich liczb całkowitych (na przykład czwórki \((1,2,3,4)\) i \((2,1,4,3)\) uznajemy za różne), które spełniają równanie\[ab +bc+cd+da =3139.\]
Zadanie 6
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Pierwiastkiem wielomianu \(W(x) = x^2 - 1234x+1\) jest pewna liczba \(p\). Dla jakiej liczby naturalnej \(N\) pierwiastkiem wielomianu \(P(x) = x^4 - Nx^2 + 1\) jest również liczba \(p\)?
Zadanie 7
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Dany jest czworokąt wypukły \(ABCD\), w którym \(|\sphericalangle ABC| + |\sphericalangle BCD| = 270^\circ\). Ponadto \(|AB|^2 +|CD|^2 =2122336\) oraz \(|BC|^2+|DA|^2 =360234770\). Niech \(M\) będzie środkiem boku \(AB\), zaś \(N\) środkiem boku \(CD\). Ile wynosi długość odcinka \(MN\)?
Zadanie 8
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Funkcje \(f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) spełniają równanie:\[f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)\]dla dowolnych \(x,y\in \mathbb{R}\), a ponadto funkcja \(f\) jest ściśle rosnąca. Wyznaczyć część całkowitą z wartości \(f(4)+g(10)\) wiedząc, że \(f(1)=3\), \(g(3)=8\).
Zadanie 9
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Stromość danego odcinka definiujemy jako stosunek przemieszczenia w pionie do długości trasy (nie do przemieszczenia w poziomie). W Stumatmowym Lesie znajduje się Góra Zadumania, na którą prowadzi prowadzi Ścieżka Wytrwałości. Ścieżka prowadzi z dołu do góry prowadząc wyłącznie pod górę, a jej kolejne metry mają odpowiednią stromość: pierwszy metr ma stromość \(1\%\), kolejne cztery metry mają stromość \(2\%\),\ldots, kolejne \(k^2\) metrów ma stromość \(k\%\). Ścieżka ma \(1240\) metrów. Podać część całkowitą stromości całej Ścieżki Wytrwałości wyrażonej w procentach, to znaczy w przypadku stromości \(43,8\%\) podać \(43\) jako wynik.
Zadanie 10
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Dany mamy taki stożek \(s\), że jego przekrój wzdłuż osi obrotu jest trójkątem równobocznym. Przecięcie tego stożka z pewną płaszczyzną \(p\) jest taką elipsą, że punkt na jej brzegu leżący najbliżej wierzchołka stożka \(s\) jest oddalony od niego o \(4\) cm, zaś punkt na brzegu tej elipsy leżący najdalej wierzchołka stożka \(s\) jest oddalony od niego o \(10\) cm. Obliczyć część całkowitą z wartości \(1000V\), gdzie \(V\) jest objętością bryły wyciętej ze stożka \(s\) przez płaszczyznę \(p\) zawierającej wierzchołek tego stożka.
Zadanie 11
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(\sigma:\{1,2,\ldots ,3600\}\to\{1,2,\ldots ,3600\}\) będzie permutacją zbioru \(\{1,2,\ldots ,3600\}\). Podać największą możliwą wartość wyrażenia\[|\sigma(1)-\sigma(2)|+|\sigma(2)-\sigma(3)|+\ldots +|\sigma(3599)-\sigma(3600)|+|\sigma(3600)-\sigma(1)|.\]
Zadanie 12
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(a_n\) oznacza liczbę sposobów, na jakie możemy pokryć tablicę o wymiarach \(n\times 2\) (czyli o szerokości \(n\) i wysokości \(2\)) kafelkami o wymiarach \(k\times 1\), gdzie \(k\) jest dowolną dodatnią liczbą całkowitą (tzn. kafelkami o wysokości \(1\) i dowolnej szerokości), oraz kafelkami o wymiarach \(1\times 2\) (czyli o szerokości \(1\) i wysokości \(2\)), przy czym kafelków nie można obracać o \(90^\circ\) i kafelki o tych samych wymiarach są nierozróżnialne. W przypadku kafelków o wymiarach \(k\times 1\) wartości \(k\) dla poszczególnych kafelków (ich szerokości) mogą się między sobą różnić. W pokryciu tablicy mogą, ale nie muszą występować kafelki tylko jednego typu. Obliczyć \(a_{20}\).
