JTM IX, Etap I
Zadanie 1
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Podać liczbę rozwiązań całkowitych równania\[\frac{13}{x}-\frac{17}{y}+\frac{15}{z}+\frac{221}{xy}-\frac{195}{xz}+\frac{255}{yz}=1.\]
Zadanie 2
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Obliczyć sumę\[\sum_{k=1}^{90} k(k+90).\]
Zadanie 3
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(P\) będzie polem trójkąta o wysokościach \(13,14,15\). Podać \(\lfloor 100P\rfloor\).
Zadanie 4
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(S\) będzie największą wartością funkcji\[f(x,y,z,t)=\frac{1}{\left(\frac{x}{y}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(\frac{y}{z}\right)^{\frac{1}{7}}+\left(\frac{z}{t}\right)^{\frac{1}{8}}+\left(\frac{t}{x}\right)^{\frac{1}{6}}}\]przyjmowaną dla dodatnich liczb rzeczywistych \(x,y,z,t\). Obliczyć \(\lfloor 10000S\rfloor\).
Zadanie 5
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\) o ramionach \(AB\) i \(AC\) długości \(8\) oraz kącie przy wierzchołku \(A\) równym \(\frac{\pi}{30}\). Na boku \(AC\) wyznaczono takie punkty \(X_1, X_3, X_5, \ldots , X_{9}\), a na boku \(AB\) takie punkty \(X_2, X_4, X_6, \ldots , X_{10}\), żeby łamana \(BX_1X_2X_3...X_{10}\) była możliwie najkrótsza. Oznaczmy jej długość przez \(l\). Podać \(\lfloor 1000l\rfloor\).
Zadanie 6
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(W(x)\) będzie wielomianem spełniającym \(W(k)-W(k-1)=137!k^{136}\) dla każdej liczby całkowitej \(k\). Niech \(a\) będzie współczynnikiem wiodącym tego wielomianu. Podać resztę z dzielenia \(a\) przez \(137\).
Zadanie 7
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Pewna funkcja \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) spełnia równanie \(f(x^5+x+1)=10x^{10}+20x^6-10x^5+10x^2-10x-18\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Podać \(f(-3)\).
Zadanie 8
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Rozbełtaniem liczby naturalnej dodatniej względem wybranej jej cyfry nazwiemy liczbę powstałą przez zastąpienie tej cyfry jej dwoma kopiami i wstawienie przecinka dziesiętnego między te dwie cyfry, np. rozbełtując liczbę \(2025\) względem cyfry \(0\) otrzymamy \(20,025\). Ile liczb naturalnych \(x\) z przedziału \([10^{19},2\cdot10^{19}]\) ma następującą własność: rozbełtanie liczby \(x\) względem dowolnej z jej cyfr różni się od najbliższej liczby całkowitej o co najwyżej \(\frac{x}{10^{20}}\).
Zadanie 9
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
W worku znajduje się \(3^{21}\) kul, które różnią się jedynie kolorem. Wiemy, że liczby kul w poszczególnych kolorach są kolejnymi liczbami całkowitymi dodatnimi. Jaka jest najmniejsza liczba kul, które musimy wyjąć z worka, aby wyznaczyć liczbę kolorów, w których są te kule?
Zadanie 10
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Dany mamy wielościan, którego podstawami są kwadrat i ośmiokąt foremny, zaś ścianami bocznymi są cztery kwadraty i cztery trójkąty równoboczne. Wszystkie krawędzie tego wielościanu mają długość \(2025\). Dowolne dwie sąsiednie krawędzie ośmiokąta foremnego należą do ścian, które nie są wielokątami przystającymi. W każdym wierzchołku podstawy będącej kwadratem schodzą się dwie ściany boczne kwadratowe i jedna ściana boczna trójkątna, przy czym ściana trójkątna znajduje się między ścianami kwadratowymi. Niech \(h\) będzie wysokością tego wielościanu. Podać \(\lfloor 1000h\rfloor\).
Zadanie 11
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
W pewnym konkursie wzięło udział \(245\) uczestników. Każdy osiągnął inny wynik. Każdy uczestnik, którego wynik znalazł się wśród \(122\) najlepszych wyników, został laureatem konkursu. Niech \(P\) będzie prawdopodobieństwem zdarzenia, że losowo wybrany laureat ma lepszy wynik niż \(121\) losowo wybranych innych uczestników (spośród pozostałych \(244\) uczestników). Podać \(\lfloor 1000000P\rfloor\).
Zadanie 12
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech\[x=3+\frac{1}{4+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{\ddots}}}}}}.\]Podać \(\lfloor 10000x\rfloor\).
