JTM IV, Etap I
Każde z poniższych zadań warte jest taką samą liczbę punktów. Kolejność zadań nie jest powiązana z ich poziomem trudności.
Zadanie 1
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Ile jest liczb naturalnych \(n\) większych od \(1\) o tej własności, że liczby \(27229\) i \(13\) dają tę samą resztę z dzielenia przez \(n\)?
Zadanie 2
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Ile jest permutacji \(\sigma\) zbioru \(\{1,\ldots,13\}\), dla których \(\sigma(5)\geq 5\)?
Zadanie 3
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Pewna funkcja homograficzna \(f\) (czyli funkcja, której wzór jest postaci \(f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\), gdzie \(a,b,c,d\in\mathbb{R}\) i \(ad-bc\neq 0\)) ma asymptoty o równaniach \(x=13\) i \(y=352\), a jej miejscem zerowym jest \(12\). Ile wynosi \(f(101)\)?
Zadanie 4
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Tomek postawił wszystkie swoje lokomotywy w rzędach po \(40\) lokomotyw w każdym i każdy rząd był wypełniony w całości. Kiedy odłożył \(140\) lokomotyw, resztę ustawił w rzędach po \(71\) lokomotyw w każdym i każdy rząd był wypełniony w całości. Ile rzędów po \(71\) lokomotyw Tomek ustawił, jeśli wiadomo, że liczba rzędów po \(40\) lokomotyw, które Tomek ustawił na początku jest większa lub równa \(100\) i mniejsza niż \(171\)?
Zadanie 5
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+42x+40\) ma dwa miejsca zerowe, z których każde jest odległe o \(1\) od argumentu, dla którego \(f\) przyjmuje najmniejszą wartość (mamy tu na myśli odległość liczb rzeczywistych od siebie, a nie punktów wykresu funkcji na płaszczyźnie). Ile wynosi \(a\)?
Zadanie 6
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny, gdzie \(|AB|=|AC|\), oraz jego środkowe \(BK\) i \(CL\) są prostopadłe i mają długość \(12\). Ile wynosi pole trójkąta \(ABC\)?
Zadanie 7
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(S\) będzie sumą współczynników wymiernych \(x,y,z\) w przedstawieniu liczby \(\frac{1}{1+\sqrt[3]{2}+5\sqrt[3]{4}}\) w postaci \(x+y\sqrt[3]{2}+z\sqrt[3]{4}\). Podać wartość bezwzględną różnicy licznika i mianownika liczby \(S\) wyrażonej w postaci ułamka nieskracalnego o dodatnim mianowniku.
Zadanie 8
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Okręgi \(o_1, o_2\) mają promień \(16256\), natomiast dwa różne okręgi \(o_3, o_4\) mają promień \(128\). Wiadomo, że pary okręgów \((o_1, o_2)\), \((o_1, o_3)\), \((o_1, o_4)\), \((o_2, o_3)\), \((o_2, o_4)\) są styczne zewnętrznie. Niech \(M\) będzie punktem styczności okręgów \(o_1, o_3\), zaś \(N\) będzie punktem styczności okręgów \(o_2, o_4\). Obliczyć część całkowitą długości odcinka \(MN\).
Zadanie 9
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Na okrągłym stole mamy \(103\) przycisków ponumerowanych kolejno od \(1\) do \(103\), przy czym przycisk o następnym numerze znajduje się po prawej stronie przycisku o poprzednim numerze, natomiast po prawej stronie przycisku o numerze \(103\) znajduje się przycisk pierwszy. Przyciskając dany przycisk, zmienia się dodatkowo stan przyciśnięcia kolejnych dwóch przycisków po prawej stronie (to znaczy, jeśli przycisk był wciśnięty, to przestaje być wciśnięty, a jeśli nie był wciśnięty, to zostaje wciśnięty). Na początku żaden przycisk nie jest wciśnięty. Jako pierwszy wciskamy przycisk numer \(1\). Za każdym następnym razem wciskamy najbliższy niewciśnięty przycisk po prawej stronie od przycisku właśnie wciśniętego. Podać numer przycisku, który zostanie wciśnięty za \(206\)-tym razem.
Zadanie 10
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Podstawa \(AB\) trapezu \(ABCD\) jest średnicą okręgu opisanego na nim. Wyznaczyć długość podstawy \(AB\), jeśli \(|BC|=|AD|=21632\), natomiast \(|CD|=75712\).
Zadanie 11
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Podać największą wartość funkcji \(f(x)=\left(11\cos x+12 \sqrt{2} \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) +13\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right)^2\), \(x\in\mathbb{R}\).
Zadanie 12
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Dane jest \(1501\) zdań numerowanych kolejnymi liczbami od \(1\) do \(1501\). Każde zdanie jest postaci ,,Zdania o numerach \(p\) i \(q\) są fałszywe'', przy czym:
- a) żadne zdanie nie mówi o samym sobie, że jest fałszywe;
- b) dla każdego zdania numery \(p\) i \(q\) występujące w tym zdaniu są różnymi liczbami;
- c) dla każdej (nieuporządkowanej) dwójki \(p,q\) numerów zdań fałszywych istnieje co najwyżej jedno zdanie prawdziwe postaci ,,Zdania o numerach \(p\) i \(q\) są fałszywe''.
Ile maksymalnie podanych na wejściu zdań mogło być prawdziwych?
Zadanie 13
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(x,y,z\) będą takimi liczbami rzeczywistymi, że \(x+y+z=11\), \(x^2+y^2+z^2=67\), \(x^3+y^3+z^3=458\). Wyznaczyć \(x^{19}+y^{19}+z^{19}\).
Zadanie 14
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Niech \(M\) będzie największą wartością wyrażenia \(x^{16}y^{13}z^{8}\), jeśli \(x,y,z\) są dodatnimi liczbami rzeczywistymi oraz \(x+2y+4z=74\). Podać resztę z dzielenia \(M\) przez \(2020\).
Zadanie 15
Poniżej podana jest przykładowa treść zadania. Treść zadania obowiązująca danego zawodnika dostępna jest po zalogowaniu.
Ile jest takich kolorowań \(14\) ponumerowanych krzeseł przy okrągłym stole przy pomocy \(4\) kolorów, że żadne dwa sąsiednie siedzenia nie są w tym samym kolorze (dopuszczamy kolorowania, w których nie wykorzystujemy wszystkich \(4\) kolorów).
